Pertanyaan

Diketahui vektor a = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , vektor b = ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ , dan vektor c = ⎝ ⎛ 0 1 0 ⎠ ⎞ . a. Jika panjang vektor a sama dengan 2 satuan dan vektor a membentuk sudut 6 0 ∘ terhadap vektor b , tunjukkan bahwa nilai x = 1 b. Jika vektor a tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor c , perlihatkan bahwa y = 0 . Kemudian, hitunglah nilai z yang mungkin.

Diketahui vektor $a = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞$ , vektor $b = ⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞$ , dan vektor $c = ⎝ ⎛ 010 ⎠ ⎞$ .

a. Jika panjang vektor $a$ sama dengan $2$ satuan dan vektor $a$ membentuk sudut $6 0^{\circ}$ terhadap vektor $b$ , tunjukkan bahwa nilai $x = 1$

b. Jika vektor $a$ tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor $c$ , perlihatkan bahwa $y = 0$ . Kemudian, hitunglah nilai $z$ yang mungkin.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti y = 0 dan nilai z adalah 3

terbukti

y = 0

dan nilai

z

adalah

3

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan a adalah terbukti x = 1 ,jawaban yang benar untuk pertanyaan b adalah terbukti y = 0 dan nilai k adalah 3 . Ingat! Misal r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , panjang atau besar vektor r ditentukan dengan rumus: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B( x 2 , y 2 . z 2 ) maka vektor AB adalah: AB = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ Jika di ketahui vektor a = ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ dan vektor b = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ maka hasil kali skalar vektor a dan vektor b adalah: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 jika a ⋅ b = 0 maka vektor a tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor b atau θ = 9 0 ∘ . jikavektor a danvektor b tidak ortogonal atau sejajar maka a ⋅ b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ b ∣ ∣ ⋅ cos θ a. Akan ditunjukkan x = 1 a ⋅ b ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + z ⋅ 0 x = = = = ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ b ∣ ∣ ⋅ cos θ 2 ⋅ 1 2 + 0 2 + 0 2 ⋅ cos 6 0 ∘ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 1 1 Dengan demikian, terbukti bahwa x = 1 b. Akan ditunjukkan y = 0 . Karena vektor a tegak lurus terhadap vektor c maka a ⋅ c = 0 . a ⋅ c ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 0 1 1 ⎠ ⎞ x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + z ⋅ 0 y = = = = 0 0 0 0 Selanjutnya akan dicari nilai z , karena ∣ ∣ a ∣ ∣ = 2 maka: ∣ ∣ a ∣ ∣ 1 2 + 0 2 + z 2 1 + z 2 1 + z 2 z 2 z 2 z = = = = = = = 2 2 2 2 2 4 − 1 3 3 Dengan demikian, terbukti y = 0 dan nilai z adalah 3

Jawaban yang benar untuk pertanyaan a adalah terbukti $x = 1$ ,jawaban yang benar untuk pertanyaan b adalah terbukti $y = 0$ dan nilai $k$ adalah $3$ .

Ingat!

Misal $r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞$ , panjang atau besar vektor $r$ ditentukan dengan rumus:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B(x_{2}, y_{2} . z_{2})$ maka vektor $AB$ adalah:

$AB = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$

Jika di ketahui vektor $a = ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$ dan vektor $b = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞$ maka hasil kali skalar vektor $a$ dan vektor $b$ adalah:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

jika $a \cdot b = 0$ maka vektor $a$ tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor $b$ atau $θ = 9 0^{\circ}$ .
jika vektor $a$ dan vektor $b$ tidak ortogonal atau sejajar maka $a \cdot b = ∣ ∣ a ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ b ∣ ∣ \cdot cos θ$

a. Akan ditunjukkan $x = 1$

$a \cdot b ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞ x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 x = = = = ∣ ∣ a ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ b ∣ ∣ \cdot cos θ 2 \cdot 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} \cdot cos 6 0^{\circ} 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} 1$

Dengan demikian, terbukti bahwa $x = 1$

b. Akan ditunjukkan $y = 0$ . Karena vektor $a$ tegak lurus terhadap vektor $c$ maka $a \cdot c = 0$ .

$a \cdot c ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 011 ⎠ ⎞ x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 y = = = = 0000$

Selanjutnya akan dicari nilai $z$ , karena $∣ ∣ a ∣ ∣ = 2$ maka:

$∣ ∣ a ∣ ∣ 1^{2} + 0^{2} + z^{2} 1 + z^{2} 1 + z^{2} z^{2} z^{2} z = = = = = = = 222 2^{2} 4 - 1 33$

Dengan demikian, terbukti $y = 0$ dan nilai $z$ adalah $3$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1.0 (1 rating)

Jessica Ndarung

Pembahasan tidak lengkap Pembahasan tidak menjawab soal

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( 5 , 2 , − 3 ) , titik B ( 6 , 1 , 4 ) , titik C ( − 3 , − 2 , − 1 ) , dan titik D ( − 1 , − 4 , 13 ) . a. Tentukan wakil dari ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah CD (ny...

111

0.0

Jawaban terverifikasi

111

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui a = ⎝ ⎛ 2 0 − 2 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ 4 0 − 4 ⎠ ⎞ membentuk sudut 6 0 ∘ . Hitunglah nilai a ⋅ b !

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui a = ⎝ ⎛ 2 0 − 2 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ 4 0 − 4 ⎠ ⎞ membentuk sudut 6 0 ∘ . Hitunglah nilai a ⋅ b !

0.0

Jawaban terverifikasi