Pertanyaan

Diketahui titik A ( 5 , 2 , − 3 ) , titik B ( 6 , 1 , 4 ) , titik C ( − 3 , − 2 , − 1 ) , dan titik D ( − 1 , − 4 , 13 ) . a. Tentukan wakil dari ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah CD (nyatakan hasil dalam bentuk vektor kolom). b. Ruas garis AB dapat dinyatakan sebagai AB = k CD , tentukan nilai k . c.Dengan menggunakan tanda-tanda hasil kali skalar AB ⋅ CD , perlihatkan bahwa AB sejajar dengan CD .

Diketahui titik $A (5, 2, - 3)$ , titik $B (6, 1, 4)$ , titik $C (- 3, - 2, - 1)$ , dan titik $D (- 1, - 4, 13)$ .

a. Tentukan wakil dari ruas garis berarah $AB$ dan ruas garis berarah $CD$ (nyatakan hasil dalam bentuk vektor kolom).

b. Ruas garis $AB$ dapat dinyatakan sebagai $AB = k CD$ , tentukan nilai $k$ .

c.Dengan menggunakan tanda-tanda hasil kali skalar $AB \cdot CD$ , perlihatkan bahwa $AB$ sejajar dengan $CD$ .

DR

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti AB sejajar dengan CD .

terbukti

AB

sejajar dengan

CD

.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan a adalah ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ , ⎝ ⎛ 2 − 2 14 ⎠ ⎞ ,jawaban yang benar untuk pertanyaan b adalah 2 1 , dan jawaban yang benar untuk pertanyaan c adalah terbukti AB sejajar dengan CD . Ingat! Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B( x 2 , y 2 . z 2 ) maka vektor AB adalah: AB = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ Misal r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , panjang atau besar vektor r ditentukan dengan rumus: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B( x 2 , y 2 . z 2 ) maka vektor AB adalah: AB = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ Jika di ketahui vektor a = ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ dan vektor b = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ maka hasil kali skalar vektor a dan vektor b adalah: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 jika a ⋅ b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ b ∣ ∣ maka vektor a danvektor b sejajaratau θ = 0 ∘ . a. Diketahuititik A ( 5 , 2 , − 3 ) , titik B ( 6 , 1 , 4 ) , titik C ( − 3 , − 2 , − 1 ) , dan titik D ( − 1 , − 4 , 13 ) ,maka: AB = = ⎝ ⎛ 6 1 4 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 5 2 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ CD = = ⎝ ⎛ − 1 − 4 13 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ − 3 − 2 − 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 − 2 14 ⎠ ⎞ Dengan demikian, AB adalah ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ dan CD adalah ⎝ ⎛ 2 − 2 14 ⎠ ⎞ . b. Diketahui AB = k CD , maka nilai k adalah: AB = k CD ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ = k ⎝ ⎛ 2 − 2 14 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 k − 2 k 14 k ⎠ ⎞ Dari persamaan diatas dapat dilihat 1 = 2 k , sehingga k = 2 1 . Dengan demikia, nilai k adalah 2 1 c. akan dibuktikan AB sejajar dengan CD . maka akan dibuktikan AB ⋅ CD = ∣ ∣ AB ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ CD ∣ ∣ AB ⋅ CD ⎝ ⎛ 1 − 1 7 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 2 − 2 14 ⎠ ⎞ 1 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) + 7 ⋅ 14 2 + 2 + 98 102 102 = = = = = = ∣ ∣ AB ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ CD ∣ ∣ 1 2 ⋅ ( − 1 ) 2 + 7 2 ⋅ 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 4 2 1 + 1 + 49 ⋅ 4 + 4 + 196 51 ⋅ 204 10404 102 Dengan demikian, terbukti AB sejajar dengan CD .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan a adalah $⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞$ , $⎝ ⎛ 2 - 2 14 ⎠ ⎞$ ,jawaban yang benar untuk pertanyaan b adalah $\frac{1}{2}$ , dan jawaban yang benar untuk pertanyaan c adalah terbukti $AB$ sejajar dengan $CD$ .

Ingat!

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B(x_{2}, y_{2} . z_{2})$ maka vektor $AB$ adalah:

$AB = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$

Misal $r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞$ , panjang atau besar vektor $r$ ditentukan dengan rumus:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B(x_{2}, y_{2} . z_{2})$ maka vektor $AB$ adalah:

$AB = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$

Jika di ketahui vektor $a = ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$ dan vektor $b = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞$ maka hasil kali skalar vektor $a$ dan vektor $b$ adalah:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

jika $a \cdot b = ∣ ∣ a ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ b ∣ ∣$ maka vektor $a$ dan vektor $b$ sejajar atau $θ = 0^{\circ}$ .

a. Diketahui titik $A (5, 2, - 3)$ , titik $B (6, 1, 4)$ , titik $C (- 3, - 2, - 1)$ , dan titik $D (- 1, - 4, 13)$ , maka:

$AB = = ⎝ ⎛ 614 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 52 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞$
$CD = = ⎝ ⎛ - 1 - 4 13 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ - 3 - 2 - 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 - 2 14 ⎠ ⎞$

Dengan demikian, $AB$ adalah $⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞$ dan $CD$ adalah $⎝ ⎛ 2 - 2 14 ⎠ ⎞$ .

b. Diketahui $AB = k CD$ , maka nilai $k$ adalah:

$AB = k CD ⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞ = k ⎝ ⎛ 2 - 2 14 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 k - 2 k 14 k ⎠ ⎞$

Dari persamaan diatas dapat dilihat $1 = 2 k$ , sehingga $k = \frac{1}{2}$ .

Dengan demikia, nilai $k$ adalah $\frac{1}{2}$

c. akan dibuktikan $AB$ sejajar dengan $CD$ . maka akan dibuktikan $AB \cdot CD = ∣ ∣ AB ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ CD ∣ ∣$

$AB \cdot CD ⎝ ⎛ 1 - 1 7 ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 2 - 2 14 ⎠ ⎞ 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 2) + 7 \cdot 14 2 + 2 + 98 102102 = = = = = = ∣ ∣ AB ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ CD ∣ ∣ 1^{2} \cdot (- 1)^{2} + 7^{2} \cdot 2^{2} + (- 2)^{2} + 1 4^{2} 1 + 1 + 49 \cdot 4 + 4 + 196 51 \cdot 204 10404102$

Dengan demikian, terbukti $AB$ sejajar dengan $CD$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

111

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , vektor b = ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ , dan vektor c = ⎝ ⎛ 0 1 0 ⎠ ⎞ . a. Jika panjang vektor a sama dengan 2 satuan dan vektor a membentuk sudut 6 0 ∘ ter...

3

1.0

Jawaban terverifikasi

Vektor posisi A , B , C , dan D relatif terhadap titik asal O masing-masing adalah ( 1 3 ) , ( 9 7 ) , ( 5 9 ) , dan ( x 2 ) . Tentukan nilai x sehingga A D sejajar CB .

1

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , vektor b = ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ , dan vektor c = ⎝ ⎛ 0 1 0 ⎠ ⎞ . a. Jika panjang vektor a sama dengan 2 satuan dan vektor a membentuk sudut 6 0 ∘ ter...

3

1.0

Jawaban terverifikasi

Vektor posisi A , B , C , dan D relatif terhadap titik asal O masing-masing adalah ( 1 3 ) , ( 9 7 ) , ( 5 9 ) , dan ( x 2 ) . Tentukan nilai x sehingga A D sejajar CB .

1

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

1

4.2

Jawaban terverifikasi