Pertanyaan

Diketahui f ( x ) = sin 2 2 x untuk 0 ≤ x ≤ π . Tentukan interval fungsi f ( x ) naik dan interval fungsi turun.

Diketahui $f (x) = sin^{2} 2 x$ untuk $0 \leq x \leq π$ . Tentukan interval fungsi $f (x)$ naik dan interval fungsi f left parenthesis x right parenthesis turun.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

disimpulkan interval naik pada fungsi f adalah 0 ≤ x < 4 π atau 2 π < x < 4 3 π sementara interval turun fungsi f adalah 4 π < x < 2 π atau 4 3 π < x ≤ π .

disimpulkan interval naik pada fungsi

f

adalah

0 \leq x < \frac{π}{4} atau \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}

sementara interval turun fungsi

f

adalah

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} atau \frac{3 π}{4} < x \leq π

Pembahasan

Fungsi f naik ketika f ′ ( x ) > 0 dan turun ketika f ′ ( x ) < 0 . Maka dari itu, untuk menjawab soal di atas kita perlu mencari turunan dari fungsi f menggunakan aturan rantai berikut ini: f ′ ( x ) = d b d a ⋅ d c d b ⋅ d x d c Diberikan fungsi , maka kita misalkan menjadi: a b c = = = b 2 sin c 2 x Pertama cari turunan dari dengan: a d b d a = = b 2 2 b Lalu cari turunan b yaitu: b d c d b = = sin c cos c terakhir cari turunan dari yaitu: c d x d c = = 2 x 2 Setelah ketiganya diturunkan, maka turunan dari f ( x ) adalah f ′ ( x ) = = = = = = = = d b d a ⋅ d c d b ⋅ d x d c 2 b ⋅ cos c ⋅ 2 4 b cos c 4 sin c cos c 4 sin 2 x cos 2 x 2 ⋅ 2 s i n 2 x c o s 2 x 2 s i n 2 ( 2 x ) 2 sin 4 x Persamaan di atas yang ditebalkan menggunakan identitas trigonometri 2 sin α cos α = sin 2 α Dari hasil diatas, diperoleh f ′ ( x ) = 2 sin 4 x , maka selanjutnya adalah buat titikpembuat 0 nya dengan cara berikut ini: f ′ ( x ) 2 sin 4 x sin 4 x = = = 0 0 0 Gunakan persamaan trigonometri untuk mempelroh nilai x pembuat nol nya yaitu: sin 4 x sin 4 x x 1 4 x x = = = = = 0 sin 0 α + k ⋅ 2 π atau x 2 = π − α + k ⋅ 2 π 0 + k ⋅ 2 π 4 x = π − 0 + k ⋅ 2 π selanjunya bagi 4 , diperoleh 0 + k ⋅ 2 π x = 4 π + k ⋅ 2 π Setelah itu kita subtitusikan k nya dengan bilangan bulat yang memenuhi batas interval 0 ≤ x ≤ π yaitu: x k k k = = = = 0 + k ⋅ 2 π 0 → x = 0 + 0 ⋅ 2 π = 0 + 0 = 0 1 → x = 0 + 1 ⋅ 2 π = 0 + 2 π = 2 π 2 → x = 0 + 2 ⋅ 2 π = 0 + π = π Lalu substitusikan juga pada x 2 yaitu: x k k = = = 4 π + k ⋅ 2 π 0 → x = 4 π + 0 ⋅ 2 π = 4 π + 0 = 4 π 1 → x = 4 π + 1 ⋅ 2 π = 4 π + 2 π = 4 3 π Maka diperoleh titik pembuat nol nya yaitu: 0 , 4 π , 2 π , 4 3 π dan π . Setelahitu, dibuat diagram garis di bawah ini kemudian lakukan uji titik untuk menentukan daerah + dan − nya. Sehingga diperoleh diagram garis di bawah ini: Dengan demikian, disimpulkan interval naik pada fungsi f adalah 0 ≤ x < 4 π atau 2 π < x < 4 3 π sementara interval turun fungsi f adalah 4 π < x < 2 π atau 4 3 π < x ≤ π .

Fungsi $f$ naik ketika $f^{'} (x) > 0$ dan turun ketika $f^{'} (x) < 0$ . Maka dari itu, untuk menjawab soal di atas kita perlu mencari turunan dari fungsi $f$ menggunakan aturan rantai berikut ini:

$f^{'} (x) = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d c} \cdot \frac{d c}{d x}$

Diberikan fungsi f left parenthesis x right parenthesis equals sin squared space 2 x , maka kita misalkan menjadi:

$a b c = = = b^{2} sin c 2 x$

Pertama cari turunan dari $a$ dengan:

$a \frac{d a}{d b} = = b^{2} 2 b$

Lalu cari turunan $b$ yaitu:

$b \frac{d b}{d c} = = sin c cos c$

terakhir cari turunan dari $c$ yaitu:

$c \frac{d c}{d x} = = 2 x 2$

Setelah ketiganya diturunkan, maka turunan dari $f (x)$ adalah

$f^{'} (x) = = = = = = = = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d c} \cdot \frac{d c}{d x} 2 b \cdot cos c \cdot 2 4 b cos c 4 sin c cos c 4 sin 2 x cos 2 x 2 \cdot 2 s i n 2 x c o s 2 x 2 s i n 2 (2 x) 2 sin 4 x$

Persamaan di atas yang ditebalkan menggunakan identitas trigonometri $2 sin α cos α = sin 2 α$

Dari hasil diatas, diperoleh $f^{'} (x) = 2 sin 4 x$ , maka selanjutnya adalah buat titik pembuat $0$ nya dengan cara berikut ini:

$f^{'} (x) 2 sin 4 x sin 4 x = = = 000$

Gunakan persamaan trigonometri untuk mempelroh nilai $x$ pembuat nol nya yaitu:

$sin 4 x sin 4 x x_{1} 4 x x = = = = = 0 sin 0 α + k \cdot 2 π atau x_{2} = π - α + k \cdot 2 π 0 + k \cdot 2 π 4 x = π - 0 + k \cdot 2 π selanjunya bagi 4, diperoleh 0 + k \cdot \frac{π}{2} x = \frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2}$

Setelah itu kita subtitusikan $k$ nya dengan bilangan bulat yang memenuhi batas interval $0 \leq x \leq π$ yaitu:

$x k k k = = = = 0 + k \cdot \frac{π}{2} 0 \to x = 0 + 0 \cdot \frac{π}{2} = 0 + 0 = 0 1 \to x = 0 + 1 \cdot \frac{π}{2} = 0 + \frac{π}{2} = \frac{π}{2} 2 \to x = 0 + 2 \cdot \frac{π}{2} = 0 + π = π$

Lalu substitusikan juga pada $x_{2}$ yaitu:

$x k k = = = \frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2} 0 \to x = \frac{π}{4} + 0 \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} + 0 = \frac{π}{4} 1 \to x = \frac{π}{4} + 1 \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Maka diperoleh titik pembuat nol nya yaitu: $0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4} dan π$ . Setelah itu, dibuat diagram garis di bawah ini kemudian lakukan uji titik untuk menentukan daerah $+$ dan $-$ nya. Sehingga diperoleh diagram garis di bawah ini:

Dengan demikian, disimpulkan interval naik pada fungsi $f$ adalah $0 \leq x < \frac{π}{4} atau \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ sementara interval turun fungsi $f$ adalah $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} atau \frac{3 π}{4} < x \leq π$ .