Diketahui cosx=53​ untuk 0∘<x<90∘. Nilai dari sin3x+sinx=...

Sifat penjumlahan dan pengurangan trigonometri :

 

Sifat perkalian trigonometri :

 

Dengan menggunakan sifat tersebut, maka :

  

Maka, .  

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Ingat bahwa :

rumus sudut rangkap pada sinus

$$\sin 2A=2\sin A\cos A$$

rumus penjumlahan sudut sinus 

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)$$ 

Dari soal diketahui $$\cos x=\frac{3}{5}$$

Misalkan panjang sisi tegak pada segitiga tersebut adalah $$t$$, maka $$t$$ dapat ditentukan dengan teorema phytagoras berikut.

$$\begin{array}{rcl}t& =& \sqrt{5^2-3^2}\\ & =& \sqrt{25-9}\\ & =& \sqrt{16}\\ & =& 4\end{array}$$

$$\sin x=\frac{4}{5}$$

Sehingga 

$$\begin{array}{rcl}\sin 3x+\sin x& =& 2\sin \frac{1}{2}\left(3x+x\right)\cos \frac{1}{2}\left(3x-x\right)\\ & =& 2\sin 2x\cos x\\ & =& 2\cdot \left(2\sin x\cos x\right)\cdot \cos x\\ & =& 2\left(2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\right)\cdot \frac{3}{5}\\ & =& \frac{144}{125}\end{array}$$

Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

$$Sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

$$\begin{array}{rcl}\sin A+\sin B& =& 2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)\\ \cos A+\cos B& =& 2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)\end{array}$$

Sudut berelasi

$$\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$$

$$\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$$

$$\sin \left(360^{\circ }-\alpha \right)=-\sin \alpha$$

$$\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$$

Sudut rangkap pada sinus 

$$\begin{array}{rcl}\sin 2A& =& 2\sin A\cos A\\ \sin A& =& 2\sin \frac{1}{2}A\cos \frac{1}{2}A\end{array}$$

Sudut rangkap pada cosinus

$$\begin{array}{rcl}\cos 2A& =& 1-2{\sin }^{2}A\\ 1-\cos 2A& =& 2{\sin }^{2}A\end{array}$$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$$\begin{array}{rcl}A+B+C& =& 180^{\circ }\\ C& =& 180^{\circ }-\left(A+B\right)\\ \cos \frac{C}{2}& =& \cos \left(\frac{180^{\circ }-\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \cos \left(90^{\circ }-\frac{\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\\ \sin 2C& =& \sin 2\left(180^{\circ }-\left(A+B\right)\right)\\ \sin 2C& =& \sin \left(360^{\circ }-2\left(A+B\right)\right)\\ & =& -\sin 2\left(A+B\right)\\ \sin C& =& \sin \left(\frac{180^{\circ }-\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \sin \left(90^{\circ }-\frac{\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\end{array}$$

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari $$Sin2A+\sin 2B+\sin 2C$$

$$\begin{array}{rcl}\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C& =& \sin 2A+\sin 2B-\sin 2\left(A+B\right)\\ & =& \sin 2A+\sin 2B-\sin \left(2A+2B\right)\\ & =& \sin 2A+\sin 2B-\left(\sin 2A\cos 2B+\cos 2A\sin 2B\right)\\ & =& \sin 2A-\sin 2A\cos 2B+\sin 2B-\cos 2A\sin 2B\\ & =& \sin 2A\left(1-\cos 2B\right)+\sin 2B\left(1-\cos 2A\right)\\ & =& 2\sin A\cos A\cdot 2{\sin }^{2}B+2\sin B\cos B\cdot 2{\sin }^{2}A\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\cos A\sin B+\cos B\sin A\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\sin A\cos B+\cos A\sin B\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\sin \left(A+B\right)\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\sin \left(180^{\circ }-C\right)\\ & =& 4\sin A\sin B\sin C\end{array}$$

Kemudian akan dicari hasil dari $$\sin A+\sin B+\sin C$$

$$\begin{array}{rcl}\sin A+\sin B+\sin C& =& \left(\sin A+\sin B\right)+\sin C\\ & =& 2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(2\cos \frac{1}{2}\left(\frac{A-B+A+B}{2}\right)\cos \frac{1}{2}\left(\frac{A-B-A-B}{2}\right)\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(2\cos \left(\frac{2A}{4}\right)\cos \left(\frac{-2B}{4}\right)\right)\\ & =& 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\end{array}$$

Maka

$$\begin{array}{rcl}\frac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}& =& \frac{4\sin A\sin B\sin C}{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}\\ & =& \frac{4\cdot 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\cdot 2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}\cdot 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}\\ & =& 8\sin \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)\sin \left(\frac{C}{2}\right)\left(\mathrm{terbukti}\right)\end{array}$$ 

Dengan demikian terbukti bahwa $$\frac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}=8\sin \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)\sin \left(\frac{C}{2}\right)$$

 

Ingat bahwa:

•  
•  

Mencari himpunan penyelesaian:

 

  

Untuk

 

himpunan penyelesaian yang memenuhi , adalah .

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah .

Ingat
rumus sudut rangkap trigonometri
$$\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)$$.
Rumus penjumlahan sinus
$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{1}{2}\left(\alpha +\beta \right)\cos \frac{1}{2}\left(\alpha -\beta \right)$$

Sehingga diperoleh 

$$\begin{array}{rcl}& & \sin 70^{\circ }+8\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\times \frac{2\sin 20^{\circ }}{2\sin 20^{\circ }}\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{2\sin 20^{\circ }}\left(2\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }\right)\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{2\sin 20^{\circ }}\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{2.2\sin 20^{\circ }}2.\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{4\sin 20^{\circ }}\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{2.4\sin 20^{\circ }}2.\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{8\sin 20^{\circ }}\sin 160^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{8\sin 20^{\circ }}\sin \left(180^{\circ }-20^{\circ }\right)\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{8{\sin 20}^{\circ }}\sin 20^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\frac{8}{8}\\ & =& \sin 70^{\circ }+1\\ & =& \sin 70^{\circ }+\sin 90^{\circ }\\ & =& \sin 70^{\circ }+\sin 90^{\circ }\\ & =& 2\sin \frac{1}{2}\left(70^{\circ }+90^{\circ }\right)\cos \frac{1}{2}\left(70^{\circ }-90^{\circ }\right)\\ & =& 2\sin 80^{\circ }\cos \left(-10^{\circ }\right)\\ & & \text{ingat}\sin \left(90-\alpha \right)\text{=}\cos \text{α dan cos}\left(-\alpha \right)\text{=cosα}\\ & =& 2\cos 10^{\circ }\cos 10^{\circ }\\ & =& 2{\cos }^{2}10^{\circ }\end{array}$$

Dengan demikian, terbukti bahwa $$\sin 70^{\circ }+8\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }=2{\cos }^{2}10^{\circ }$$.