Pertanyaan

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . b. Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh vektor i + 6 j − k .

Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik-titik sudut $A (4, - 3, 2)$ , $B (2, - 2, 6)$ , dan $C (3, 4, 5)$ .

b. Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $AC$ pada arah $BC$ diwakili oleh vektor $i + 6 j - k$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwaproyeksi vektor ortogonal A C pada arah BC benar diwakili oleh vektor i + 6 j − k .

terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal

A C

pada arah

BC

benar diwakili oleh vektor

i + 6 j - k

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahproyeksi vektor ortogonal A C → pada arah B C → benar diwakili oleh vektor . Ingat! Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalahproyeksi vektor a pada arah vektor b makaproyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a . b ⎠ ⎞ b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: Titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) Titik sudut B ( 2 , − 2 , 6 ) Titik sudut C ( 3 , 4 , 5 ) . Ditanya: Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal A C pada arah BC diwakili oleh vektor i + 6 j − k . Jawab: Ruas garis berarah A C adalah sebagai berikut: A C = = ⎝ ⎛ 3 − 4 4 + 3 5 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 7 3 ⎠ ⎞ Ruas garis berarah BC adalah sebagai berikut: BC = = ⎝ ⎛ 3 − 2 4 + 2 5 − 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 6 − 1 ⎠ ⎞ Jadi,proyeksi vektor ortogonal A C pada arah BC adalah c i + 6 j − k i + 6 j − k i + 6 j − k i + 6 j − k = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ BC ∣ ∣ 2 A C . BC ⎠ ⎞ BC ( ( 1 2 + 6 2 + ( − 1 ) 2 ) 2 − 1 × 1 + 7 × 6 + 3 × ( − 1 ) ) ⎝ ⎛ 1 6 − 1 ⎠ ⎞ ( 1 + 36 + 1 ) 2 − 1 + 42 − 3 ⎝ ⎛ 1 6 − 1 ⎠ ⎞ 38 38 ⎝ ⎛ 1 6 − 1 ⎠ ⎞ i + 6 j − k Dengan demikian, terbukti bahwaproyeksi vektor ortogonal A C pada arah BC benar diwakili oleh vektor i + 6 j − k .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah proyeksi vektor ortogonal $A C \to$ pada arah $B C \to$ benar diwakili oleh vektor $\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf i}\boldsymbol+\mathbf6\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf j}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf k}$ .

Ingat!

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = ⎝ ⎛ \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ b$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

Titik sudut $A (4, - 3, 2)$

Titik sudut $B (2, - 2, 6)$

Titik sudut $C (3, 4, 5)$ .

Ditanya:

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $BC$ diwakili oleh vektor $i + 6 j - k$ .

Jawab:

Ruas garis berarah $A C$ adalah sebagai berikut:

$A C = = ⎝ ⎛ 3 - 4 4 + 3 5 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 1 73 ⎠ ⎞$

Ruas garis berarah $BC$ adalah sebagai berikut:

$BC = = ⎝ ⎛ 3 - 2 4 + 2 5 - 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 16 - 1 ⎠ ⎞$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $BC$ adalah

$c i + 6 j - k i + 6 j - k i + 6 j - k i + 6 j - k = = = = = ⎝ ⎛ \frac{A C . BC}{∣ ∣ BC ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ BC (\frac{- 1 \times 1 + 7 \times 6 + 3 \times ( - 1 )}{( 1 ^{2} + 6 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ 16 - 1 ⎠ ⎞ \frac{- 1 + 42 - 3}{( 1 + 36 + 1 ) ^{2}} ⎝ ⎛ 16 - 1 ⎠ ⎞ \frac{38}{38} ⎝ ⎛ 16 - 1 ⎠ ⎞ i + 6 j - k$

Dengan demikian, terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $BC$ benar diwakili oleh vektor $i + 6 j - k$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

4.2

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi