Pertanyaan

Diketahui titik A ( − 8 , 0 ) , B ( − 2 , 0 ) dan himpunan { P ( x , y ) ∣ PA = 2 PB } . Tentukan himpunan titik tersebut dan garis singgungnya yang melalui titik ( 0 , − 5 ) .

Diketahui titik $A (- 8, 0)$ , $B (- 2, 0)$ dan himpunan ${P (x, y) ∣ PA = 2 PB}$ . Tentukan himpunan titik tersebut dan garis singgungnya yang melalui titik $(0, - 5)$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan titiknya berada pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 dan persamaan garis lingkaran x 2 + y 2 = 16 di titik ( 0 , − 5 ) adalah 3 x − 4 y = 20 dan 3 x + 4 y = − 20 .

himpunan titiknya berada pada lingkaran

x^{2} + y^{2} = 16

dan persamaan garis lingkaran

x^{2} + y^{2} = 16

di titik

(0, - 5)

adalah

3 x - 4 y = 20

dan

3 x + 4 y = - 20

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahhimpunan titiknya berada pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 dan persamaan garis lingkaran x 2 + y 2 = 16 di titik adalah 3 x − 4 y = 20 dan 3 x + 4 y = − 20 . Misalkan diketahui suatu lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dan titik P ( x 1 , y 1 ) , kedudukan titik terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran tersebut. 1. Jika x 1 2 + y 1 2 < r 2 maka titik berada di dalam lingkaran. 2.Jika x 1 2 + y 1 2 = r 2 maka titik berada pada lingkaran. 3.Jika x 1 2 + y 1 2 > r 2 maka titik berada di luar lingkaran. Ingat rumus jarak antara dua titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) yaitu: A B = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Persamaan garis singgung dari titik di luar lingkaran dapat menggunakan bantuan garis polar. Persamaan garis polar pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dari titik P ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran adalah x x 1 + y y 1 = r 2 . Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik di luar lingkaran dengan menggunakan garis polar adalah sebagai berikut. 1. Tentukan persamaan garis polar pada lingkaran tersebut. 2. Tentukan titik potong antara garis polar pada lingkaran misalkan di titik A dan B . 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melaluititik A dan B . Diketahui: Titik A ( − 8 , 0 ) , B ( − 2 , 0 ) dan himpunan { P ( x , y ) ∣ P A = 2 PB } . Dapat dituliskan untuk P A = 2 PB yaitu: P A ( x A − x P ) 2 + ( y A − y P ) 2 ( − 8 − x ) 2 + ( 0 − y ) 2 ( − 8 − x ) 2 + y 2 ( ( − 8 − x ) 2 + y 2 ) 2 ( − 8 − x ) 2 + y 2 64 + 16 x + x 2 + y 2 64 + 16 x + x 2 + y 2 3 x 2 + 3 y 2 − 48 x 2 − y 2 − 16 x 2 + y 2 = = = = = = = = = = = 2 PB 2 ( x B − x P ) 2 + ( y B − y P ) 2 2 ( − 2 − x ) 2 + ( 0 − y ) 2 2 ( − 2 − x ) 2 + y 2 ( 2 ( − 2 − x ) 2 + y 2 ) 2 4 ( ( − 2 − x ) 2 + y 2 ) 4 ( 4 + 4 x + x 2 + y 2 ) 16 + 16 x + 4 x 2 + 4 y 2 0 0 16 Himpunan titik P ( x , y ) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 . Persamaan garis singgung lingkarandi titik ( 0 , − 5 ) dapat diperiksa terlebih dahulu apakah titik berada pada atau di luar lingkaran. x 2 + y 2 ... 16 0 2 + ( − 5 ) 2 ... 16 25 > 16 Nilai x 2 + y 2 > r 2 sehingga titik berada di luar lingkaran. Persamaan garis singgung titik ( 0 , − 5 ) diluar lingkaran x 2 + y 2 = 16 dapat ditentukan dengan: 1. Menentukan persamaan garis polar pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 dari titik ( 0 , − 5 ) yaitu: x ( 0 ) + y ( − 5 ) − 5 y y = = = 16 16 5 − 16 2. Substitusikan y = 5 − 16 ke lingkaran x 2 + y 2 = 16 untuk mendapatkan titik potong garis polar pada lingkaran yaitu: x 2 + y 2 x 2 + ( 5 − 16 ) 2 x 2 + 25 256 25 x 2 + 256 25 x 2 25 x 2 x 2 x x = = = = = = = = = 16 16 16 ( kalikan kedua ruas dengan 25 ) 400 − 256 + 400 144 25 144 ± 25 144 ± 5 12 Titik potong garis polar pada lingkaran adalah ( 5 12 , 5 − 16 ) dan ( 5 − 12 , 5 − 16 ) . Persamaan garis singgung pertama pada lingkaran yaitu: x x 1 + y y 1 x ( 5 12 ) + y ( 5 − 16 ) 5 12 x − 5 16 y 12 x − 16 y 3 x − 4 y = = = = = 16 16 16 ( kalikan kedua ruas dengan 5 ) 80 20 Persamaan garis singgung kedua pada lingkaran yaitu: x x 1 + y y 1 x ( 5 − 12 ) + y ( 5 − 16 ) 5 − 12 x − 5 16 y − 12 x − 16 y − 3 x − 4 y 3 x + 4 y = = = = = = 16 16 16 ( kalikan kedua ruas dengan 5 ) 80 20 − 20 Dengan demikian himpunan titiknya berada pada lingkaran x 2 + y 2 = 16 dan persamaan garis lingkaran x 2 + y 2 = 16 di titik ( 0 , − 5 ) adalah 3 x − 4 y = 20 dan 3 x + 4 y = − 20 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah himpunan titiknya berada pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ dan persamaan garis lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ di titik adalah $3 x - 4 y = 20$ dan $3 x + 4 y = - 20$ .

Misalkan diketahui suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ dan titik $P (x_{1}, y_{1})$ , kedudukan titik terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran tersebut.

1. Jika $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} < r^{2}$ maka titik berada di dalam lingkaran.
2. Jika $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = r^{2}$ maka titik berada pada lingkaran.
3. Jika $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} > r^{2}$ maka titik berada di luar lingkaran.

Ingat rumus jarak antara dua titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ yaitu:

$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Persamaan garis singgung dari titik di luar lingkaran dapat menggunakan bantuan garis polar. Persamaan garis polar pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ dari titik $P (x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran adalah $x x_{1} + y y_{1} = r^{2}$ .
Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik di luar lingkaran dengan menggunakan garis polar adalah sebagai berikut.
1. Tentukan persamaan garis polar pada lingkaran tersebut.
2. Tentukan titik potong antara garis polar pada lingkaran misalkan di titik $A$ dan $B$ .
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik $A$ dan $B$ .

Diketahui:
Titik $A (- 8, 0)$ , $B (- 2, 0)$ dan himpunan ${P (x, y) ∣ P A = 2 PB}$ .

Dapat dituliskan untuk $P A = 2 PB$ yaitu:

$P A (x_{A} - x_{P})^{2} + (y_{A} - y_{P})^{2} (- 8 - x)^{2} + (0 - y)^{2} (- 8 - x)^{2} + y^{2} ((- 8 - x)^{2} + y^{2})^{2} (- 8 - x)^{2} + y^{2} 64 + 16 x + x^{2} + y^{2} 64 + 16 x + x^{2} + y^{2} 3 x^{2} + 3 y^{2} - 48 x^{2} - y^{2} - 16 x^{2} + y^{2} = = = = = = = = = = = 2 PB 2 (x_{B} - x_{P})^{2} + (y_{B} - y_{P})^{2} 2 (- 2 - x)^{2} + (0 - y)^{2} 2 (- 2 - x)^{2} + y^{2} (2 (- 2 - x)^{2} + y^{2})^{2} 4 ((- 2 - x)^{2} + y^{2}) 4 (4 + 4 x + x^{2} + y^{2}) 16 + 16 x + 4 x^{2} + 4 y^{2} 0016$

Himpunan titik $P (x, y)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ .

Persamaan garis singgung lingkaran di titik $(0, - 5)$ dapat diperiksa terlebih dahulu apakah titik berada pada atau di luar lingkaran.

$x^{2} + y^{2} ... 16 0^{2} + (- 5)^{2} ... 16 25 > 16$

Nilai $x^{2} + y^{2} > r^{2}$ sehingga titik berada di luar lingkaran.

Persamaan garis singgung titik $(0, - 5)$ diluar lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ dapat ditentukan dengan:

1. Menentukan persamaan garis polar pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ dari titik $(0, - 5)$ yaitu:

$x (0) + y (- 5) - 5 y y = = = 1616 \frac{- 16}{5}$

2. Substitusikan $y = \frac{- 16}{5}$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ untuk mendapatkan titik potong garis polar pada lingkaran yaitu:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (\frac{- 16}{5})^{2} x^{2} + \frac{256}{25} 25 x^{2} + 256 25 x^{2} 25 x^{2} x^{2} x x = = = = = = = = = 1616 16 (kalikan kedua ruas dengan 25) 400 - 256 + 400 144 \frac{144}{25} \pm \frac{144}{25} \pm \frac{12}{5}$

Titik potong garis polar pada lingkaran adalah $(\frac{12}{5}, \frac{- 16}{5})$ dan $(\frac{- 12}{5}, \frac{- 16}{5})$ .

Persamaan garis singgung pertama pada lingkaran yaitu:

$x x_{1} + y y_{1} x (\frac{12}{5}) + y (\frac{- 16}{5}) \frac{12}{5} x - \frac{16}{5} y 12 x - 16 y 3 x - 4 y = = = = = 1616 16 (kalikan kedua ruas dengan 5) 8020$

Persamaan garis singgung kedua pada lingkaran yaitu:

$x x_{1} + y y_{1} x (\frac{- 12}{5}) + y (\frac{- 16}{5}) \frac{- 12}{5} x - \frac{16}{5} y - 12 x - 16 y - 3 x - 4 y 3 x + 4 y = = = = = = 1616 16 (kalikan kedua ruas dengan 5) 8020 - 20$

Dengan demikian himpunan titiknya berada pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ dan persamaan garis lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ di titik $(0, - 5)$ adalah $3 x - 4 y = 20$ dan $3 x + 4 y = - 20$ .