Pertanyaan

Diketahui titik A(2, 5, -4) dan B(6, -1, -2). Jika titik D berada di perpanjangan AB sehingga AD : BD = 5 : 3 dan titik E berada di perpanjangan AD sehingga AD : DE = 1 : 3, maka kemungkinan-kemungkinan untuk koordinat titik E adalah ....

(54,-25,-8) atau (-42,55,-16)
(42,-55,16) atau (-18,35,-14)
(54,-25,-8) atau (-18,35,-14)
(42,-55,16) atau (30,-5,-10)
(54,-25,-8) atau (30,-5,-10)

I. Roy

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Karena titik D berada di perpanjangan AB, maka A, B, dan D terletak segaris. Karena AD : BD = 5 : 3, maka dapat dimisalkan AD = 5p dan BD = 3p. Perhatikan ilustrasi sebagai berikut Dapat diperhatikan pada gambar bahwa B terletak di antara titik A dan D. Selanjutnya, kita dapatkan bahwa Sehingga AB : BD = 2p : 3p = 2 : 3. Kemudian, misalkan koordinat titik D adalah dan koordinat titik E adalah . Jika masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, D, dan E, maka didapat bahwa Kemudian telah didapatkan bahwa AB : BD = 2 : 3 Sehingga didapat bahwa Maka koordinat dari titik D adalah (12,-10,1). Kemudian titik E berada di perpanjangan AD sehingga AD : DE = 1 : 3. Karena AD : DE = 1 : 3, maka dapat dimisalkan AD = q dan DE = 3q. Perhatikan bahwa terdapat dua kemungkinan sebagai berikut Kemungkinan 1 : Kemungkinan 2 : Perhatikan kemungkinan yang pertama! Dapat diketahui bahwa titik D terletak di antara A dan E dengan AD : DE = 1 : 3. Oleh karena itu, kita dapatkan Maka kemungkinan yang pertama untuk koordinat dari titik E adalah (42,-55,16). Selanjutnya, perhatikan kemungkinan yang kedua! Dapat diketahui bahwa titik A terletak di antara E dan D. Perhatikan bahwa Jadi, EA : AD = 2q : q = 2 : 1. Oleh karena itu, kita dapatkan Maka kemungkinan yang kedua untuk koordinat dari titik E adalah (-18,35,-14). Oleh karena itu, kita dapatkan kemungkinan-kemungkinan untuk koordinat titik E adalah (42,-55,16) atau (-18,35,-14). Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Karena titik D berada di perpanjangan AB, maka A, B, dan D terletak segaris.

Karena AD : BD = 5 : 3, maka dapat dimisalkan AD = 5p dan BD = 3p.

Perhatikan ilustrasi sebagai berikut

Dapat diperhatikan pada gambar bahwa B terletak di antara titik A dan D.

Selanjutnya, kita dapatkan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell A B end cell equals cell A D minus B D end cell row blank equals cell 5 p minus 3 p end cell row blank equals cell 2 p end cell end table end style

Sehingga AB : BD = 2p : 3p = 2 : 3.

Kemudian, misalkan koordinat titik D adalah dan koordinat titik E adalah .
Jika masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, D, dan E, maka didapat bahwa

Kemudian telah didapatkan bahwa
AB : BD = 2 : 3
Sehingga didapat bahwa

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell b with rightwards arrow on top end cell equals cell fraction numerator 2 d with rightwards arrow on top plus 3 a with rightwards arrow on top over denominator 2 plus 3 end fraction end cell row cell open parentheses table row 6 row cell negative 1 end cell row cell negative 2 end cell end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses plus 3 open parentheses table row 2 row 5 row cell negative 4 end cell end table close parentheses over denominator 2 plus 3 end fraction end cell row cell open parentheses table row 6 row cell negative 1 end cell row cell negative 2 end cell end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses over denominator 5 end fraction end cell row cell 5 open parentheses table row 6 row cell negative 1 end cell row cell negative 2 end cell end table close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 30 row cell negative 5 end cell row cell negative 10 end cell end table close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 30 row cell negative 5 end cell row cell negative 10 end cell end table close parentheses minus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses end cell row cell 1 half open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 12 row cell negative 10 end cell row 1 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript D end cell row cell y subscript D end cell row cell z subscript D end cell end table close parentheses end cell end table end style$

Maka koordinat dari titik D adalah (12,-10,1).

Kemudian titik E berada di perpanjangan AD sehingga AD : DE = 1 : 3.
Karena AD : DE = 1 : 3, maka dapat dimisalkan AD = q dan DE = 3q.
Perhatikan bahwa terdapat dua kemungkinan sebagai berikut

Kemungkinan 1 :

Kemungkinan 2 :

Perhatikan kemungkinan yang pertama!
Dapat diketahui bahwa titik D terletak di antara A dan E dengan AD : DE = 1 : 3.
Oleh karena itu, kita dapatkan

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell d with rightwards arrow on top end cell equals cell fraction numerator e with rightwards arrow on top plus 3 a with rightwards arrow on top over denominator 1 plus 3 end fraction end cell row cell open parentheses table row 12 row cell negative 10 end cell row 1 end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses plus 3 open parentheses table row 2 row 5 row cell negative 4 end cell end table close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell open parentheses table row 12 row cell negative 10 end cell row 1 end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell 4 open parentheses table row 12 row cell negative 10 end cell row 1 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 48 row cell negative 40 end cell row 4 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 48 row cell negative 40 end cell row 4 end table close parentheses minus open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 42 row cell negative 55 end cell row 16 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell end table end style$

Maka kemungkinan yang pertama untuk koordinat dari titik E adalah (42,-55,16).

Selanjutnya, perhatikan kemungkinan yang kedua!

Dapat diketahui bahwa titik A terletak di antara E dan D.
Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell E A end cell equals cell E D minus A D end cell row blank equals cell 3 q minus q end cell row blank equals cell 2 q end cell end table end style

Jadi, EA : AD = 2q : q = 2 : 1.
Oleh karena itu, kita dapatkan

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a with rightwards arrow on top end cell equals cell fraction numerator 2 d with rightwards arrow on top plus e with rightwards arrow on top over denominator 2 plus 1 end fraction end cell row cell open parentheses table row 2 row 5 row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses table row 12 row cell negative 10 end cell row 1 end table close parentheses plus open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses over denominator 3 end fraction end cell row cell open parentheses table row 2 row 5 row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses over denominator 3 end fraction end cell row cell 3 open parentheses table row 2 row 5 row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row 6 row 15 row cell negative 12 end cell end table close parentheses minus open parentheses table row 24 row cell negative 20 end cell row 2 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell negative 18 end cell row 35 row cell negative 14 end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell x subscript E end cell row cell y subscript E end cell row cell z subscript E end cell end table close parentheses end cell end table end style$

Maka kemungkinan yang kedua untuk koordinat dari titik E adalah (-18,35,-14).

Oleh karena itu, kita dapatkan kemungkinan-kemungkinan untuk koordinat titik E adalah (42,-55,16) atau (-18,35,-14).

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A(3, 5, 2) dan B(10, -2, 2). Jika titik R berada di antara titik A dan B sedemikian sehingga AR : RB = 2 : 5, maka koordinat titik R adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(3, 5, 2) dan B(10, -2, 2). Jika titik R berada di antara titik A dan B sedemikian sehingga AR : RB = 2 : 5, maka koordinat titik R adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(0, 2, 7), B(3, 0, - 2 ), dan C(0, - 4 , 7). Titik D berada pada perpanjangan garis BC sehingga BD : CD = 2 : 5. Koordinat titik D adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Diketahui titik A(1, 2, 3), B(8, -14, 2), dan C(5, -5, -4). Jika BD : DC = 2 : 1 dan AE : ED = 3 : 2, maka koordinat titik E adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Diketahui titik A(1, 2, 3), B(8, -14, 2), dan C(5, -5, -4). Jika BD : DC = 2 : 1 dan AE : ED = 3 : 2, maka koordinat titik E adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi