Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis x = − 2 dan garis singgung parabola di titik ( 0 , 1 ) sejajar garis 4 x + y = 4 . Titik puncak parabola adalah .... (SBMPTN 2014)

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah E. Bentuk umum dari fungsi kuadrat (parabola) adalah y = a x 2 + b x + c dengan a  = 0 . Koordinat titik puncak pada fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan rumus berikut. ( x p ​ , y p ​ ) = ( − 2 a b ​ , − 4 a b 2 − 4 a c ​ ) Misal fungsi parabola pada soal di atas adalah y = a x 2 + b x + c Parabola tersebut simetris terhadap garis x = − 2 sehingga x p ​ = − 2 x p ​ − 2 a b ​ b ​ = = = ​ − 2 − 2 4 a ​ Garis singgung parabola tersebut sejajar garis 4 x + y = 4 Gradien dua garis sejajar, yaitu m 1 ​ = m 2 ​ Garis 4 x + y = 4 mempunyai gradien m 1 ​ = − 4 sehingga gradien garis singgung parabola tersebut adalah m 2 ​ = m 1 ​ = − 4 Gradien garis singgung parabola tersebut dapat ditentukan juga dengan menggunakan rumus turunan pertama, yaitu m = f ′ ( x ) . Diketahui garis singgung parabola tersebut berada di titik ( 0 , 1 ) sehingga diperoleh nilai b sebagai berikut. m − 4 − 4 b ​ = = = = ​ y ′ 2 a x + b 2 a ⋅ 0 + b − 4 ​ Diperoleh nilai b = − 4 sehingga nilai dapat ditentukan sebagai berikut. b − 4 a ​ = = = ​ 4 a 4 a − 1 ​ Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. y 1 1 c ​ = = = = ​ a x 2 + b x + c ( − 1 ) ⋅ 0 2 + ( − 4 ) ⋅ 0 2 + c 0 + c 1 ​ Persamaan parabola tersebut adalah y = − x 2 − 4 x + 1 Titik puncak parabola di sumbu y , yaitu y p ​ ​ = = = ​ − ( − 2 ) 2 − 4 ( − 2 ) + 1 − 4 + 8 + 1 5 ​ Diperoleh titik puncak parabola di titik ( − 2 , 5 ) Oleh karena itu, jawaban yang benaradalah E.