Diketahui suatu matriks A = ( 5 6 ​ 7 9 ​ ) . Jika B A = A ⋅ A T ⋅ A − 1 . Maka det B = ...

Pembahasan

Suatu matriks A = ( 5 6 ​ 7 9 ​ ) . Jika B A = A ⋅ A T ⋅ A − 1 . Maka untuk menentukan det B kita perlu mencarimatriks B terlebih dahulu dengan cara berikut: B A B A A − 1 B ​ = = = ​ A ⋅ A T ⋅ A − 1 A ⋅ A T ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 A ⋅ A T ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 ​ A T merupakan simbol dari transpose matriks A. Transpose matriks adalah sebuah matriks baru yang terbentuk dari pertukaran tempat baris dan kolom pada matriks awal. Jika A = ( 5 6 ​ 7 9 ​ ) , maka A T = ( 5 7 ​ 6 9 ​ ) . A − 1 merupakan simbol dari invers matriks A. Invers matriks adalah kebalikan dari matriks awal. Jika A = ( 5 6 ​ 7 9 ​ ) , maka A − 1 diperoleh dengan cara sebagai berikut: A − 1 ​ = = = = = = ​ d e t A 1 ​ A d j o in A a d − b c 1 ​ ( d − c ​ − b a ​ ) 5 ( 9 ) − 7 ( 6 ) 1 ​ ( 9 − 6 ​ − 7 5 ​ ) 45 − 42 1 ​ ( 9 − 6 ​ − 7 5 ​ ) 3 1 ​ ( 9 − 6 ​ − 7 5 ​ ) ( 3 − 2 ​ − 3 7 ​ 3 5 ​ ​ ) ​ Menentukan matriks B B ​ = = = = = = = = = = = = = ​ A ⋅ A T ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 [ ( 5 6 ​ 7 9 ​ ) ⋅ ( 5 7 ​ 6 9 ​ ) ] ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 [ ( ( 5 × 5 ) + ( 7 × 7 ) ( 6 × 5 ) + ( 9 × 7 ) ​ ( 5 × 6 ) + ( 7 × 9 ) ( 6 × 6 ) + ( 9 × 9 ) ​ ) ] ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 ( 25 + 49 30 + 63 ​ 30 + 63 36 + 81 ​ ) ⋅ A − 1 ⋅ A − 1 [ ( 74 93 ​ 93 117 ​ ) ⋅ ( 3 − 2 ​ − 3 7 ​ 3 5 ​ ​ ) ] ⋅ A − 1 [ ( ( 74 × 3 ) + ( 93 × ( − 2 ) ) ( 93 × 3 ) + ( 117 × ( − 2 ) ) ​ 74 ( − 3 7 ​ ) + 93 ( 3 5 ​ ) 93 ( − 3 7 ​ ) + 117 ( 3 5 ​ ) ​ ) ] ⋅ A − 1 ( 222 − 186 279 − 234 ​ − 3 518 ​ + 3 465 ​ − 3 651 ​ + 3 585 ​ ​ ) ⋅ A − 1 ( 36 45 ​ − 3 53 ​ − 22 ​ ) ⋅ ( 3 − 2 ​ − 3 7 ​ 3 5 ​ ​ ) ( ( 36 × 3 ) + ( − 3 53 ​ × ( − 2 ) ) ( 45 × ( 3 ) ) + ( − 22 × ( − 2 ) ) ​ ( 36 × ( − 3 7 ​ ) ) + ( − 3 53 ​ × 3 5 ​ ) ( 45 × − 3 7 ​ ) + ( ( − 22 ) × 3 5 ​ ) ​ ) ( 108 + 3 106 ​ 135 + 44 ​ − 3 252 ​ − 9 265 ​ − 3 315 ​ − 3 110 ​ ​ ) ( 3 3 ( 108 ) + 106 ​ 179 ​ 9 − 3 ( 252 ) − 265 ​ 3 − 315 − 110 ​ ​ ) ( 3 324 + 106 ​ 179 ​ 9 − 756 − 265 ​ 3 − 425 ​ ​ ) ( 3 430 ​ 179 ​ − 9 1.021 ​ 3 − 425 ​ ​ ) ​ det B merupakan simbol dari determinan matriks B. Determinan matriks adalahselisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Diperoleh matriks B = ( 3 430 ​ 179 ​ − 9 1.012 ​ − 3 425 ​ ​ ) , maka det B dihitung dengan cara sebagai berikut: d e t B ​ = = = = = ​ a d − b c ( 3 430 ​ × ( − 3 425 ​ ) ) − ( − 9 1.012 ​ × 179 ) − 9 182.750 ​ + 9 182.759 ​ 9 9 ​ 1 ​ Dengan demikian, diperoleh det B adalah 1 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.