Pertanyaan

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat di ( 4 , 3 ) dan jari-jari 5 . Tentukan: a. semua titik potong lingkaran dengan sumbu-sumbu koordinat dan b. persamaan garis singgung pada lingkaran di ketiga titik potong tersebut.

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat di $(4, 3)$ dan jari-jari $5$ . Tentukan:

a. semua titik potong lingkaran dengan sumbu-sumbu koordinat dan

b. persamaan garis singgung pada lingkaran di ketiga titik potong tersebut.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat ketiga persamaan garis singgungnya adalah − 4 x − 3 y = 0 , 4 x − 3 y − 32 = 0 , dan − 4 x + 3 y − 18 = 0 .

didapat ketiga persamaan garis singgungnya adalah

- 4 x - 3 y = 0

4 x - 3 y - 32 = 0

, dan

- 4 x + 3 y - 18 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a) titik potong dengan sumbu koordinatnya adalah ( 0 , 0 ) , ( 8 , 0 ) , dan ( 0 , 6 ) , b) persamaan garis singgungnya adalah − 4 x − 3 y = 0 , 4 x − 3 y − 32 = 0 , dan − 4 x + 3 y − 18 = 0 . Ingat! Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat ( a , b ) dan jari - jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . Sebuah persamaan akan memotong sumbu x ketika y = 0 dan akan memotong sumbu y ketika x = 0 . Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 di titik ( x 1 , y 1 ) adalah x 1 x + y 1 y + A ( 2 x 1 + x ) + B ( 2 y 1 + y ) + C = 0 . Persamaan lingkaran dengan titik pusat ( 4 , 3 ) dan r = 5 adalah ( x − 4 ) 2 + ( y − 3 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + y 2 − 6 y + 9 x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 25 x 2 + y 2 − 8 x − 6 y x 2 + y 2 − 8 x − 6 y = = = = = ( 5 ) 2 25 25 25 − 25 0 Didapat persamaan lingkarannya x 2 + y 2 − 8 x − 6 y = 0 . a. Menentukan titik potong lingkaran dengan sumbu - sumbu koordinatnya. Memotong sumbu x di x 2 + y 2 − 8 x − 6 y x 2 + ( 0 ) 2 − 8 x − 6 ( 0 ) x 2 − 8 x x ( x − 8 ) = = = = 0 0 0 0 didapat x = 0 dan x − 8 x = = 0 8 Didapat titik potongnya ( 0 , 0 ) dan ( 8 , 0 ) Memotong sumbu y di x 2 + y 2 − 8 x − 6 y ( 0 ) 2 + y 2 − 8 ( 0 ) − 6 y y 2 − 6 y y ( y − 6 ) = = = = 0 0 0 0 didapat y = 0 dan y − 6 y = = 0 6 Didapat titik potongnya ( 0 , 0 ) dan ( 0 , 6 ) Dengan demikian didapat titik potong lingkaran dengan sumbu - sumbu koordinatnya adalah ( 0 , 0 ) , ( 8 , 0 ) , dan ( 0 , 6 ) . b. Persamaan garis singgung pada lingkaran di ketiga titik potong tersebut. Pada lingkaran x 2 + y 2 − 8 x − 6 y = 0 maka persamaan garis singgung di titik ( x 1 , y 1 ) dapat dicari dengan cara x 2 + y 2 − 8 x − 6 y x 1 x + y 1 − 8 ( 2 x 1 + x ) − 6 ( 2 y 1 + y ) = = 0 0 Pada titik ( 0 , 0 ) maka garis singgungnya x 1 x + y 1 − 8 ( 2 x 1 + x ) − 6 ( 2 y 1 + y ) ( 0 ) x + ( 0 ) y − 8 ( 2 0 + x ) − 6 ( 2 0 + y ) − 4 x − 3 y − 4 x − 3 y = = = = 0 0 0 0 Pada titik ( 8 , 0 ) maka garis singgungnya x 1 x + y 1 − 8 ( 2 x 1 + x ) − 6 ( 2 y 1 + y ) ( 8 ) x + ( 0 ) y − 8 ( 2 8 + x ) − 6 ( 2 0 + y ) 8 x − 4 ( 8 + x ) − 3 y 8 x − 32 − 4 x − 3 y 4 x − 3 y − 32 = = = = = 0 0 0 0 0 Pada titik ( 0 , 6 ) maka garis singgungnya x 1 x + y 1 − 8 ( 2 x 1 + x ) − 6 ( 2 y 1 + y ) ( 0 ) x + ( 6 ) y − 8 ( 2 0 + x ) − 6 ( 2 6 + y ) 6 y − 4 x − 3 ( 6 + y ) 6 y − 4 x − 18 − 3 y − 4 x + 3 y − 18 = = = = = 0 0 0 0 0 Dengan demikian didapat ketiga persamaan garis singgungnya adalah − 4 x − 3 y = 0 , 4 x − 3 y − 32 = 0 , dan − 4 x + 3 y − 18 = 0 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a) titik potong dengan sumbu koordinatnya adalah $(0, 0), (8, 0), dan (0, 6)$ , b) persamaan garis singgungnya adalah $- 4 x - 3 y = 0$ , $4 x - 3 y - 32 = 0$ , dan $- 4 x + 3 y - 18 = 0$ .

Ingat!

Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat $(a, b)$ dan jari - jari $r$ adalah $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

Sebuah persamaan akan memotong sumbu $x$ ketika $y = 0$ dan akan memotong sumbu $y$ ketika $x = 0$ .

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ di titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah

$x_{1} x + y_{1} y + A (\frac{x _{1} + x}{2}) + B (\frac{y _{1} + y}{2}) + C = 0$ .

Persamaan lingkaran dengan titik pusat $(4, 3)$ dan $r = 5$ adalah

$(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 6 y + 9 x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 25 x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y = = = = = (5)^{2} 2525 25 - 25 0$

Didapat persamaan lingkarannya $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y = 0$ .

a. Menentukan titik potong lingkaran dengan sumbu - sumbu koordinatnya.

Memotong sumbu $x$ di

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y x^{2} + (0)^{2} - 8 x - 6 (0) x^{2} - 8 x x (x - 8) = = = = 0000$

didapat $x = 0$ dan

$x - 8 x = = 08$

Didapat titik potongnya $(0, 0)$ dan $(8, 0)$

Memotong sumbu $y$ di

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y (0)^{2} + y^{2} - 8 (0) - 6 y y^{2} - 6 y y (y - 6) = = = = 0000$

didapat $y = 0$ dan

$y - 6 y = = 06$

Didapat titik potongnya $(0, 0)$ dan $(0, 6)$

Dengan demikian didapat titik potong lingkaran dengan sumbu - sumbu koordinatnya adalah $(0, 0), (8, 0), dan (0, 6)$ .

b. Persamaan garis singgung pada lingkaran di ketiga titik potong tersebut.

Pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y = 0$ maka persamaan garis singgung di titik $(x_{1}, y_{1})$ dapat dicari dengan cara

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y x_{1} x + y_{1} - 8 (\frac{x _{1} + x}{2}) - 6 (\frac{y _{1} + y}{2}) = = 00$

Pada titik $(0, 0)$ maka garis singgungnya

$x_{1} x + y_{1} - 8 (\frac{x _{1} + x}{2}) - 6 (\frac{y _{1} + y}{2}) (0) x + (0) y - 8 (\frac{0 + x}{2}) - 6 (\frac{0 + y}{2}) - 4 x - 3 y - 4 x - 3 y = = = = 0000$

Pada titik $(8, 0)$ maka garis singgungnya

$x_{1} x + y_{1} - 8 (\frac{x _{1} + x}{2}) - 6 (\frac{y _{1} + y}{2}) (8) x + (0) y - 8 (\frac{8 + x}{2}) - 6 (\frac{0 + y}{2}) 8 x - 4 (8 + x) - 3 y 8 x - 32 - 4 x - 3 y 4 x - 3 y - 32 = = = = = 00000$

Pada titik $(0, 6)$ maka garis singgungnya

$x_{1} x + y_{1} - 8 (\frac{x _{1} + x}{2}) - 6 (\frac{y _{1} + y}{2}) (0) x + (6) y - 8 (\frac{0 + x}{2}) - 6 (\frac{6 + y}{2}) 6 y - 4 x - 3 (6 + y) 6 y - 4 x - 18 - 3 y - 4 x + 3 y - 18 = = = = = 00000$

Dengan demikian didapat ketiga persamaan garis singgungnya adalah $- 4 x - 3 y = 0$ , $4 x - 3 y - 32 = 0$ , dan $- 4 x + 3 y - 18 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: c. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan titik B.

4.5

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: d. Lukiskan sketsa grafiknya.

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis x = 5 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 di dua titik. b. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui masing-masing dua titik tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi