Diketahui O ( 0 , 0 ) , A ( − 2 , 4 ) ,danB ( − 1 , 7 ) merupakan titik - titik sudut segitiga. a. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui O,A,danB . b. Tentukan persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 dan b. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 4 = 0 . Ingat! Persamaan umum lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Kedudukan titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) terletak pada lingkaran jika x 1 2 ​ + y 1 2 ​ + A x 1 ​ + B y 1 ​ + C = 0 . Titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 adalah ( a , b ) = ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) . Diperoleh: a. Menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O,A,danB . substitusi titik O ( 0 , 0 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + A ( 0 ) + B ( 0 ) + C C ​ = = = ​ 0 0 0 ​ substitusi titik A ( − 2 , 4 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( − 2 ) 2 + ( 4 ) 2 + A ( − 2 ) + B ( 4 ) + ( 0 ) 4 + 16 − 2 A + 4 B − 2 A + 4 B − A + 2 B ​ = = = = = ​ 0 0 0 − 20 − 10 ​ substitusi titik B ( − 1 , 7 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( − 1 ) 2 + ( 7 ) 2 + A ( − 1 ) + B ( 7 ) + ( 0 ) 1 + 49 − A + 7 B − A + 7 B ​ = = = = ​ 0 0 0 − 50 ​ Eliminasi − A + 2 B = − 10 dan − A + 7 B = − 50 . − A + 2 B − A + 7 B − 5 B B B ​ = = = = = ​ − 10 − 50 − 40 − 5 40 ​ − 8 ​ ​ Substitusi nilai B = − 8 ke − A + 2 B = − 10 . − A + 2 B − A + 2 ( − 8 ) − A − 16 − A − A A ​ = = = = = = ​ − 10 − 10 − 10 − 10 + 16 6 − 6 ​ Jadi didapat nilai A = − 6 , B = − 8 , C = 0 Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . b. lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA . Ingat! Dua lingkaran dikatakan kosentrik jika kedua lingkaran tersebut memiliki titik pusat yang sama. Lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 memiliki titik pusat. ( a , b ) ​ = = ​ ( − 2 ( − 6 ) ​ , − 2 ( − 8 ) ​ ) ( 3 , 4 ) ​ dan jika titik O ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan A ( x 2 ​ , y 2 ​ ) memilikititik tengah OA = ( 2 x 1 ​ + x 2 ​ ​ , 2 y 1 ​ + y 2 ​ ​ ) Jadi titik tengah OA misal P dan O ( 0 , 0 ) dan A ( − 2 , 4 ) maka. P ​ = = = = ​ ( 2 x 1 ​ + x 2 ​ ​ , 2 y 1 ​ + y 2 ​ ​ ) ( 2 0 + ( − 2 ) ​ , 2 0 + 4 ​ ) ( 2 − 2 ​ , 2 4 ​ ) ( − 1 , 2 ) ​ Jadi persamaan lingkaran dengan titik pusat ( a , b ) = ( 3 , 4 ) adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + C = 0 karena melalui P ( − 1 , 2 ) maka x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + C ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 − 6 ( − 1 ) − 8 ( 2 ) + C 1 + 4 + 6 − 16 + C − 4 + C C ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 4 ​ Dengan demikian, didapat persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 4 = 0 .