Pertanyaan

Diketahui O ( 0 , 0 ) , A ( − 2 , 4 ) ,danB ( − 1 , 7 ) merupakan titik - titik sudut segitiga. a. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui O,A,danB . b. Tentukan persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA

Diketahui $O (0, 0), A (- 2, 4), dan B (- 1, 7)$ merupakan titik - titik sudut segitiga.

a. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $O, A, dan B$ .

b. Tentukan persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah $OA$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 4 = 0 .

didapat persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah

OA

adalah

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 4 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 dan b. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 4 = 0 . Ingat! Persamaan umum lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Kedudukan titik ( x 1 , y 1 ) terletak pada lingkaran jika x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C = 0 . Titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 adalah ( a , b ) = ( − 2 A , − 2 B ) . Diperoleh: a. Menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O,A,danB . substitusi titik O ( 0 , 0 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + A ( 0 ) + B ( 0 ) + C C = = = 0 0 0 substitusi titik A ( − 2 , 4 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( − 2 ) 2 + ( 4 ) 2 + A ( − 2 ) + B ( 4 ) + ( 0 ) 4 + 16 − 2 A + 4 B − 2 A + 4 B − A + 2 B = = = = = 0 0 0 − 20 − 10 substitusi titik B ( − 1 , 7 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . x 2 + y 2 + A x + B y + C ( − 1 ) 2 + ( 7 ) 2 + A ( − 1 ) + B ( 7 ) + ( 0 ) 1 + 49 − A + 7 B − A + 7 B = = = = 0 0 0 − 50 Eliminasi − A + 2 B = − 10 dan − A + 7 B = − 50 . − A + 2 B − A + 7 B − 5 B B B = = = = = − 10 − 50 − 40 − 5 40 − 8 Substitusi nilai B = − 8 ke − A + 2 B = − 10 . − A + 2 B − A + 2 ( − 8 ) − A − 16 − A − A A = = = = = = − 10 − 10 − 10 − 10 + 16 6 − 6 Jadi didapat nilai A = − 6 , B = − 8 , C = 0 Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . b. lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA . Ingat! Dua lingkaran dikatakan kosentrik jika kedua lingkaran tersebut memiliki titik pusat yang sama. Lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 memiliki titik pusat. ( a , b ) = = ( − 2 ( − 6 ) , − 2 ( − 8 ) ) ( 3 , 4 ) dan jika titik O ( x 1 , y 1 ) dan A ( x 2 , y 2 ) memilikititik tengah OA = ( 2 x 1 + x 2 , 2 y 1 + y 2 ) Jadi titik tengah OA misal P dan O ( 0 , 0 ) dan A ( − 2 , 4 ) maka. P = = = = ( 2 x 1 + x 2 , 2 y 1 + y 2 ) ( 2 0 + ( − 2 ) , 2 0 + 4 ) ( 2 − 2 , 2 4 ) ( − 1 , 2 ) Jadi persamaan lingkaran dengan titik pusat ( a , b ) = ( 3 , 4 ) adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + C = 0 karena melalui P ( − 1 , 2 ) maka x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + C ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 − 6 ( − 1 ) − 8 ( 2 ) + C 1 + 4 + 6 − 16 + C − 4 + C C = = = = = 0 0 0 0 4 Dengan demikian, didapat persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah OA adalah x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 4 = 0 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ dan b. $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 4 = 0$ .

Ingat!

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ . Kedudukan titik $(x_{1}, y_{1})$ terletak pada lingkaran jika $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + A x_{1} + B y_{1} + C = 0$ .

Titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ adalah $(a, b) = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ .

Diperoleh:

a. Menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $O, A, dan B$ .

substitusi titik $O (0, 0)$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (0)^{2} + (0)^{2} + A (0) + B (0) + C C = = = 000$

substitusi titik $A (- 2, 4)$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (- 2)^{2} + (4)^{2} + A (- 2) + B (4) + (0) 4 + 16 - 2 A + 4 B - 2 A + 4 B - A + 2 B = = = = = 000 - 20 - 10$

substitusi titik $B (- 1, 7)$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (- 1)^{2} + (7)^{2} + A (- 1) + B (7) + (0) 1 + 49 - A + 7 B - A + 7 B = = = = 000 - 50$

Eliminasi $- A + 2 B = - 10$ dan $- A + 7 B = - 50$ .

$- A + 2 B - A + 7 B - 5 B B B = = = = = - 10 - 50 - 40 \frac{40}{- 5} - 8$

Substitusi nilai $B = - 8$ ke $- A + 2 B = - 10$ .

$- A + 2 B - A + 2 (- 8) - A - 16 - A - A A = = = = = = - 10 - 10 - 10 - 10 + 16 6 - 6$

Jadi didapat nilai $A = - 6, B = - 8, C = 0$

Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ .

b. lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah $OA$ .

Ingat!

Dua lingkaran dikatakan kosentrik jika kedua lingkaran tersebut memiliki titik pusat yang sama.

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ memiliki titik pusat.

$(a, b) = = (- \frac{( - 6 )}{2}, - \frac{( - 8 )}{2}) (3, 4)$

dan jika titik $O (x_{1}, y_{1})$ dan $A (x_{2}, y_{2})$ memiliki titik tengah

$OA = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Jadi titik tengah $OA$ misal $P$ dan $O (0, 0)$ dan $A (- 2, 4)$ maka.

$P = = = = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}) (\frac{0 + ( - 2 )}{2}, \frac{0 + 4}{2}) (\frac{- 2}{2}, \frac{4}{2}) (- 1, 2)$

Jadi persamaan lingkaran dengan titik pusat $(a, b) = (3, 4)$ adalah

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + C = 0$

karena melalui $P (- 1, 2)$ maka

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + C (- 1)^{2} + (2)^{2} - 6 (- 1) - 8 (2) + C 1 + 4 + 6 - 16 + C - 4 + C C = = = = = 00004$

Dengan demikian, didapat persamaan lingkaran yang kosentrik dengan lingkaran pertama dan melalui titik tengah $OA$ adalah $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 4 = 0$ .