Diketahui matriks P=(2153) dan Q=(5141). Matriks (PQ)−1=....

Pertanyaan

Diketahui matriks $\style{font-size:14px}{\mathrm P=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}$ dan $\style{font-size:14px}{\mathrm Q=\begin{pmatrix}5&4\\1&1\end{pmatrix}}$ . Matriks $\style{font-size:14px}{\left(\mathrm{PQ}\right)^{-1}=....}$

$begin mathsize 14px style open parentheses table row 7 cell negative 13 end cell row cell negative 8 end cell 15 end table close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses table row 7 13 row 8 15 end table close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses table row cell negative 7 end cell 13 row 8 cell negative 15 end cell end table close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses table row 15 cell negative 13 end cell row cell negative 8 end cell 7 end table close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses table row cell negative 15 end cell 13 row 8 cell negative 7 end cell end table close parentheses end style$

Pembahasan:

Ingat kembali perkalian dua matriks ordo $2 cross times 2$ berikut.

Perkalian matriks adalah nilai pada matriks yang bisa dihasilkan dengan cara dikalikan-nya tiap baris dengan setiap kolom yang memiliki jumlah baris yang sama.

$open parentheses table row a b row c d end table close parentheses cross times open parentheses table row e f row g h end table close parentheses equals open parentheses table row cell a e plus b g end cell cell a f plus b h end cell row cell c e plus d g end cell cell c f plus d h end cell end table close parentheses$

Kemudian, misal terdapat matriks $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , determinan dan invers dari matriks $A$ tersebut sebagai berikut.

$det\;A=ad-bc$

$A^{-1}=\frac1{det\;A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl}PQ&=&\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&4\\1&1\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}2\cdot5+5\cdot1&2\cdot4+5\cdot1\\1\cdot5+3\cdot1&1\cdot4+3\cdot1\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}15&13\\8&7\end{pmatrix}\end{array}$

Kemudian, dapat ditentukan matriks $begin mathsize 14px style open parentheses PQ close parentheses to the power of negative 1 end exponent end style$ sebagai berikut.

$\begin{array}{rcl}\left(PQ\right)^{-1}&=&\frac1{det\;(PQ)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\\&=&\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\\&=&\frac1{15\cdot7-13\cdot8}\begin{pmatrix}7&-13\\-8&15\end{pmatrix}\\&=&\frac1{105-104}\begin{pmatrix}7&-13\\-8&15\end{pmatrix}\\&=&\frac11\begin{pmatrix}7&-13\\-8&15\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}7&-13\\-8&15\end{pmatrix}\end{array}$

Dengan demikian, matriks $open parentheses PQ close parentheses to the power of negative 1 end exponent$ adalah $begin mathsize 14px style open parentheses table row 7 cell negative 13 end cell row cell negative 8 end cell 15 end table close parentheses end style$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

Terakhir diupdate 04 November 2021