Diketahui lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 20 memotong garis x + y = 4 di titik A dan B .Tentukan persamaan lingkaran L yangmelalui titik A , B , dan titik asal O .

Pembahasan

Ingat bahwa untuk menyelesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan metode substitusi dan mencari kedua titik potong garis pada lingkaran. Ingat persamaan umum lingkaran berikut: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Selain itu, untuk membentuk persamaan lingkaran yang melalui tiga titik dapat menggunakan metode eliminasi-substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Diketahui: persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 20 . garis potong x + y = 4 di titik A dan B . Berdasarkan teori dan informasi di atas, maka titik A dan B dapat ditentukan sebagai berikut: x + y y ​ = = ​ 4 − x + 4 ​ Substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan lingkaran sebagai berikut: x 2 + ( − x + 4 ) 2 − 2 x + 4 ( − x + 4 ) x 2 + x 2 − 8 x + 16 − 2 x − 4 x + 16 2 x 2 − 14 x + 32 − 20 2 x 2 − 14 x + 12 x 2 − 7 x + 6 ( x − 1 ) ( x − 6 ) ​ = = = = = = ​ 20 20 0 0 0 0 ​ Karena hasil perkalian selalu sama dengan 0 , maka diperoleh x − 1 = 0 dan x − 6 = 0 . Ketika x − 1 = 0 , maka x = 1 . x + y 1 + y y y ​ = = = = ​ 4 4 4 − 1 3 ​ Ketika x − 6 = 0 , maka x = 6 . x + y 6 + y y y ​ = = = = ​ 4 4 4 − 6 − 2 ​ Sehingga persamaan lingkaran L yang melalui titik ( 1 , 3 ) , ( 6 , − 2 ) , dan ( 0 , 0 ) dapat dicari sebagai berikut: Pada titik ( 1 , 3 ) , maka persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C 1 2 + 3 2 + 1 ⋅ A + 3 ⋅ B + C 1 + 9 + A + 3 B + C A + 3 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 10...1 ​ Pada titik ( 6 , − 2 ) , maka persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C 6 2 + ( − 2 ) 2 + 6 ⋅ A + ( − 2 ) ⋅ B + C 36 + 4 + 6 A − 2 B + C 6 A − 2 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 40...2 ​ Pada titik ( 0 , 0 ) , maka persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C 0 2 + 0 2 + 0 ⋅ A + 0 ⋅ B + C C ​ = = = ​ 0 0 0...3 ​ Substitusikan nilai C ke dalam persamaan 1 dan 2 sebagai berikut: A + 3 B + 0 A + 3 B ​ = = ​ − 10 − 10...1 ​ 6 A − 2 B + 0 3 A − B ​ = = ​ − 40 − 40...2 ​ Eliminasi kedua persamaan di atas seperti berikut: A 3 A 3 A 3 A ​ + − + − ​ 3 B B 9 B B 10 B B ​ = = = = = = ​ − 10 − 40 − 30 − 40 10 1 ​ ∣ × 3 ∣ × 1 − ​ ​ Substitusikan nilai B ke dalam persamaan 1 berikut: A + 3 ⋅ 1 A A ​ = = = ​ − 10 − 10 − 3 − 13 ​ Sehingga persamaan lingkaran L menjadi seperti berikut: x 2 + y 2 − 13 x + y + C = 0 Karena melalui titik ( 0 , 0 ) , maka C = 0 . Dengan demikian, persamaan lingkaran L adalah x 2 + y 2 − 13 x + y = 0 .