a. Tentukanlah persamaan suatu lingkaran yang melalui titik A ( 3 , 2 ) , B ( 12 , 5 ) , dan C ( 11 , − 2 ) . b. Hitunglah jarak antara kedua titik potong antara lingkaran itu dengan garis y = 6 . c. Hitunglahjarak antara kedua titik potongantara lingkaran itu dengan garis y = x − 1 .

Pembahasan

Soal a. Persamaan umum lingkaran yaitu x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Substitusi titik A ( 3 , 2 ) pada persamaan lingkaran diperoleh : 9 + 4 + 3 a + 2 b + c 3 a + 2 b + c + 13 3 a + 2 b + c ​ = = = ​ 0 0 − 13 … ( 1 ) ​ Substitusi titik B ( 12 , 5 ) pada persamaan lingkaran diperoleh : 144 + 25 + 12 a + 5 b + c 12 a + 5 b + c + 169 12 a + 5 b + c ​ = = = ​ 0 0 − 169 … ( 2 ) ​ Substitusi titik C ( 11 , − 2 ) pada persamaan lingkaran diperoleh : 121 + 4 + 11 a − 2 b + c 11 a − 2 b + c + 125 11 a − 2 b + c ​ = = = ​ 0 0 − 125 … ( 3 ) ​ Eliminasi persamaan-persamaan tersebut, maka diperoleh persamaan (4) dan persamaan (5): 12 a + 5 b + c = − 169 3 a + 2 b + c = − 13 − 9 a + 3 b = − 156 3 a + b = − 52 b = − 3 a − 52 ​ ​ 11 a − 2 b + c = − 125 3 a + 2 b + c = − 13 − 8 a − 4 b = − 112 2 a − b = − 28 2 a − ( − 3 a − 52 ) = − 28 2 a + 3 a + 52 = − 28 5 a = − 28 − 52 5 a = − 80 a = − 5 80 ​ a = − 16 ​ ​ Sehingga nilai b dan diperoleh : b ​ = = = = ​ − 3 a − 52 − 3 ( − 16 ) − 52 48 − 52 − 4 ​ 3 a + 2 b + c 3 ( − 16 ) + 2 ( − 4 ) + c − 48 − 8 + c − 56 + c c c ​ = = = = = = ​ − 13 − 13 − 13 − 13 − 13 + 56 43 ​ Dengan demikian, persamaan lingkarannya yaitu : x 2 + y 2 − 16 x − 4 y + 43 = 0 Soal b. Substitusi nilai y = 6 pada persamaan lingkaran diperoleh : x 2 + y 2 − 16 x − 4 y + 43 x 2 + ( 6 ) 2 − 16 x − 4 ( 6 ) + 43 x 2 + 36 − 16 x − 24 + 43 x 2 − 16 x + 55 ( x − 5 ) ( x − 11 ) ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ x 1 ​ = 5 ​ atau ​ x 2 ​ = 11 ​ Jarak antara kedua titik potong yaitu : d ​ = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ 11 − 5 6 ​ Dengan demikian,jarak antara kedua titik potong antara lingkaran itu dengan garis y = 6 adalah 6. Soal c. Substitusi nilai y = x − 1 pada persamaan lingkaran diperoleh : x 2 + y 2 − 16 x − 4 y + 43 x 2 + ( x − 1 ) 2 − 16 x − 4 ( x − 1 ) + 43 x 2 + x 2 − 2 x + 1 − 16 x − 4 x + 4 + 43 2 x 2 − 22 x + 48 x 2 − 11 x + 24 ( x − 8 ) ( x − 3 ) ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 ​ x 1 ​ = 8 x 2 ​ = 3 ​ ⇒ ⇒ ​ y 1 ​ = x 1 ​ − 1 = 8 − 1 = 7 y 2 ​ = x 2 ​ − 1 = 3 − 1 = 2 ​ Jarak antara kedua titik potong yaitu : d ​ = = = = = = ​ ( x 2 ​ − x 1 ​ ) 2 + ( y 2 ​ − y 1 ​ ) 2 ​ ( 3 − 8 ) 2 + ( 2 − 7 ) 2 ​ ( − 5 ) 2 + ( − 5 ) 2 ​ 25 + 25 ​ 50 ​ 5 2 ​ ​ Dengan demikian,jarak antara kedua titik potong antara lingkaran itu dengan garis y = x − 1 adalah 5 2 ​ .