Pertanyaan

Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM:MD=1:2 , titik N berada di rusuk CD sedemikian sehirigga CN:ND=1:2 . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP:PH=2:1 . Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB , maka nilai cos α = ...

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ . Titik $M$ berada di rusuk $AD$ sedemikian sehingga $AM: MD =1 : 2$ , titik $N$ berada di rusuk $CD$ sedemikian sehirigga $CN : ND = 1 : 2$ . Titik $P$ berada di rusuk $DH$ sedemikian sehingga $DP: PH= 2 : 1$ . Jika $α$ adalah sudut antara bidang $MNP$ dan garis $PB$ , maka nilai $cos α = ...$

$\frac{5}{44} 44$
$\frac{5}{33} 33$
$\frac{5}{22} 22$
$\frac{1}{13} 13$
$\frac{1}{11} 11$

D. Firmansyah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Jawaban yang benar adalah B.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah B. Ingat pada kubus dengan panjang rusuk maka panjang diagonal sisi: a 2 . teorema pythagoras dari segitiga siku - siku dengan panjang sisi a , b dan , dengan sisi terpanjang. c = a 2 + b 2 aturan cosinus: cos α = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 , dengan sisi berada di depan sudut α Perhatikan ilustrasi dari pertanyaan tersebut. Kita asumsikan panjang rusuk : 3 a . karena AM:MD=1:2 maka didapat AM = a , dan MD = 2 a . CN:ND=1:2 maka didapat CN = a dan ND = 2 a DP:PH=2:1 maka didapat DP = 2 a dan PH = a Karena DM = DN = DP = 2 a maka panjang MN = NP = PM = ( 2 a ) 2 + ( 2 a ) 2 = 4 a 2 + 4 a 2 = 8 a 2 = 2 a 2 Sehingga segitiga MNP segitiga sama sisi, dan besar masing - masing sudutnya 6 0 ∘ . PQ merupakan garis tinggi segitiga MNP . maka sin 6 0 ∘ PQ PQ PQ = = = = PM PQ sin 6 0 ∘ ⋅ PM 2 1 3 ⋅ ( 2 a 2 ) a 6 BD diagonal sisi, sehingga BD = 3 a 2 . Dengan teorema pythagoras untuk mencari BP . BP = = = = = BD 2 + DP 2 ( 3 a 2 ) 2 + ( 2 a ) 2 18 a 2 + 4 a 2 22 a 2 a 22 Karena perbandingan AM:MD=1:2 dan CN:ND=1:2 sama, maka BQ:QD = 2 : 1 . sehingga BQ = = 3 2 ( 3 a 2 ) 2 a 2 gunakan aturan cosinus untuk mencari α . karena sisi BQ didepan sudut α maka cos α = = = = = = 2 ⋅ ( PQ ) ( PB ) ( PQ ) 2 + ( PB ) 2 − ( BQ ) 2 2 ( a 6 ) ( a 22 ) ( a 6 ) 2 + ( a 22 ) 2 − ( 2 a 2 ) 2 2 ( a 2 3 ) ( a 2 11 ) 6 a 2 + 22 a 2 − 8 a 2 4 a 2 33 20 a 2 2 33 10 ⋅ 33 33 33 5 33 Jadi didapat nilai dari cos α = 33 5 33 Oleh karena itu, Jawaban yang benar adalah B.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah B.

Ingat pada kubus dengan panjang rusuk $a$ maka panjang diagonal sisi: $a 2$ .

teorema pythagoras dari segitiga siku - siku dengan panjang sisi $a, b$ dan $c$ , dengan $c$ sisi terpanjang.

$c = a^{2} + b^{2}$

aturan cosinus: $cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , dengan sisi $a$ berada di depan sudut $α$

Perhatikan ilustrasi dari pertanyaan tersebut.

Kita asumsikan panjang rusuk : $3 a$ . karena

$AM: MD =1 : 2$ maka didapat $AM = a$ , dan $MD = 2 a$ .

$CN : ND = 1 : 2$ maka didapat $CN = a$ dan $ND = 2 a$

$DP: PH= 2 : 1$ maka didapat $DP = 2 a$ dan $PH = a$

Karena $DM = DN = DP = 2 a$ maka panjang

$MN = NP = PM = (2 a)^{2} + (2 a)^{2} = 4 a^{2} + 4 a^{2} = 8 a^{2} = 2 a 2$

Sehingga segitiga $MNP$ segitiga sama sisi, dan besar masing - masing sudutnya $6 0^{\circ}$ .

$PQ$ merupakan garis tinggi segitiga $MNP$ . maka

$sin 6 0^{\circ} PQ PQ PQ = = = = \frac{PQ}{PM} sin 6 0^{\circ} \cdot PM \frac{1}{2} 3 \cdot (2 a 2) a 6$

$BD$ diagonal sisi, sehingga $BD = 3 a 2$ .

Dengan teorema pythagoras untuk mencari $BP$ .

$BP = = = = = BD^{2} + DP^{2} (3 a 2)^{2} + (2 a)^{2} 18 a^{2} + 4 a^{2} 22 a^{2} a 22$

Karena perbandingan $AM: MD =1 : 2$ dan $CN : ND = 1 : 2$ sama, maka $BQ : QD = 2 : 1$ . sehingga

$BQ = = \frac{2}{3} (3 a 2) 2 a 2$

gunakan aturan cosinus untuk mencari $α$ . karena sisi $BQ$ didepan sudut $α$ maka

$cos α = = = = = = \frac{( PQ ) ^{2} + ( PB ) ^{2} - ( BQ ) ^{2}}{2 \cdot ( PQ ) ( PB )} \frac{( a 6 ) ^{2} + ( a 22 ) ^{2} - ( 2 a 2 ) ^{2}}{2 ( a 6 ) ( a 22 )} \frac{6 a ^{2} + 22 a ^{2} - 8 a ^{2}}{2 ( a 2 3 ) ( a 2 11 )} \frac{20 a ^{2}}{4 a ^{2} 33} \frac{10}{2 33} \cdot \frac{33}{33} \frac{5}{33} 33$

Jadi didapat nilai dari $cos α = \frac{5}{33} 33$

Oleh karena itu, Jawaban yang benar adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

2.0 (2 rating)

Keyla Zahira

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Pada suatu kubus PQRS.TUVW sudut antara garis PW dan bidang diagonal QUWS sama dengan...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui kubus ABCD . EFGH . Titik M berada di rusuk AD dengan AM : MD = 1 : 2 . Titik N berada di rusuk CD dengan CN : ND = 1 : 2 . Titik P berada di rusuk DH dengan DP : PH = 2 : 1 . Jika α adalah ...

4.0

Jawaban terverifikasi

4.0

Jawaban terverifikasi

Pada suatu kubus PQRS.TUVW sudut antara garis PW dan bidang diagonal QUWS sama dengan...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 2 cm dan panjang rusuk tegak 3 cm . Nilai tangen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah ….

5.0

Jawaban terverifikasi