Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q dan R berturut-turut adalah titik tengah rusuk AE, DH dan FB. Jarak dari garis PH ke garis QR adalah … cm.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut Buat dua bidang yang sejajar yang masing-masing melalui PH dan QR. Dari garis PH, dapat dibuat bidang PFH dan dari garis QR dapat dibuat bidang GQR. Perhatikan bahwa PFH dan GQR adalah dua bidang yang sejajar, sehingga jarak antara AH dengan DG sama saja dengan jarak antara PFH dengan GQR. Perhatikan bahwa bidang GQR dapat diperluas menjadi bidang GRAQ, sebagai berikut Sehingga jarak dari garis PH ke garis QR sama saja dengan jarak dari bidang PFH ke bidang GRAQ. Perhatikan bidang ACGE. Perhatikan bahwa EG tegak lurus dengan FH karena kedua diagonal sisi pada suatu sisi kubus saling berpotongan tegak lurus tepat di pertengahan diagonal sisi. Perhatikan pula bahwa AE tegak lurus dengan EFGH, sehingga AE tegak lurus dengan seluruh garis pada EFGH, salah satunya FH. Karena EG tegak lurus dengan FH dan AE tegak lurus dengan FH, maka ACGE tegak lurus dengan FH. Sehingga ACGE tegak lurus dengan seluruh garis yang melalui atau sejajar dengan FH, yaitu PFH dan GRAQ. Karena akan dicari jarak dari PFH ke GRAQ, maka pilih salah satu titik pada salah satu bidang. Misal dipilih titik M pada bidang PFH. Perhatikan bahwa M adalah perpotongan antara diagonal sisi EG dan FH, maka M terletak di pertengahan EG maupun FH. Sehingga jarak dari PFH ke GRAQ sama saja dengan jarak dari M ke GRAQ. Karena M terletak pada ACGE dan ACGE tegak lurus dengan GRAQ yang berpotongan di garis AG, maka jarak dari M ke GRAQ sama saja dengan jarak dari M ke AG. Perhatikan segitiga AEG. Misalkan S adalah titik pada AG sehingga MS tegak lurus AG. Maka jarak dari M ke AG sama saja dengan panjang ruas garis MS. Cari panjang sisi pada segitiga AEG. Didapat bahwa EG = cm, AE = 6 cm, dan AG = cm. Karena M berada di pertengahan EG, maka . Misalkan α = AGE . Maka dari segitiga AEG, didapat bahwa . Sedangkan dari segitiga GMS, didapat bahwa . Sehingga