Pertanyaan

Diketahui koordinat titik A ( − 5. 5 ) dan C ( 7 , 1 ) . a. Tentukan koordinat titik B , jika AB = BC dan ∠ OAB = 9 0 ∘ . O titik pangkal koordinat Cartesius. b. Buktikanlah bahwa titik-titik O , A , B , dan C terletak pada satu lingkaran. Kemudian tentukanlah persamaan lingkaran itu.

Diketahui koordinat titik $A (- 5. 5) dan C (7, 1)$ .

a. Tentukan koordinat titik $B$ , jika $AB = BC$ dan $∠ OAB = 9 0^{\circ}$ . $O$ titik pangkal koordinat Cartesius.

b. Buktikanlah bahwa titik-titik $O, A, B, dan C$ terletak pada satu lingkaran. Kemudian tentukanlah persamaan lingkaran itu.

H. Janatu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan titik B ( x , y ) . Diketahui AB = BC , sehingga dengan rumus jarak titik ke titik: AB ( x − ( − 5 ) ) 2 + ( y − 5 ) 2 ( x + 5 ) 2 + ( y − 5 ) 2 x 2 + y 2 + 10 x − 10 y + 50 24 x 3 x = = = = = = BC ( x − 7 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 7 ) 2 + ( y − 1 ) 2 x 2 + y 2 − 14 x − 2 y + 50 8 y y ... ( 1 ) Selanjutnya diketahui ∠ OAB = 9 0 ∘ , maka m OA ⋅ m AB − 5 − 0 5 − 0 ⋅ x − ( − 5 ) y − 5 − 1 ⋅ x + 5 y − 5 y − 5 y = = = = = − 1 − 1 − 1 x + 5 x + 10... ( 2 ) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh y 3 x 2 x x y = = = = = = = x + 10 x + 10 10 5 x + 10 5 + 10 15 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B ( x , y ) = B ( 5 , 15 ) . b. Jika O , A , B , dan C merupakan titik yang berada pada lingkaran, maka ∠ OAB = 9 0 ∘ merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter lingkaran yaitu OB . Perhatikan gambar berikut. Berdasarkan gambar tersebut, titik pusat lingkaran merupakan titik tengah OB , yaitu P ( 2 x 1 + x 2 , 2 y 1 + y 2 ) = = P ( 2 0 + 5 , 2 0 + 15 ) P ( 2 5 , 2 15 ) dan jari-jari lingkaran tersebut adalah setengah dari OB , yaitu r = = = = = 2 1 OB 2 1 5 2 + 1 5 2 2 1 25 + 225 2 1 250 2 5 10 Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan berjari-jari r sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Dengan demikian, persamaan lingkaran berpusat di P ( 2 5 , 2 15 ) dan berjari-jari r = 2 5 10 adalah ( x − 2 5 ) 2 + ( y − 2 15 ) 2 = ( 2 5 10 ) 2 ( x − 2 5 ) 2 + ( y − 2 15 ) 2 = 2 250

Misalkan titik $B (x, y)$ . Diketahui $AB = BC$ , sehingga dengan rumus jarak titik ke titik:

$AB (x - (- 5))^{2} + (y - 5)^{2} (x + 5)^{2} + (y - 5)^{2} x^{2} + y^{2} + 10 x - 10 y + 50 24 x 3 x = = = = = = BC (x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} (x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} x^{2} + y^{2} - 14 x - 2 y + 50 8 y y ... (1)$

Selanjutnya diketahui $∠ OAB = 9 0^{\circ}$ , maka

$m_{OA} \cdot m_{AB} \frac{5 - 0}{- 5 - 0} \cdot \frac{y - 5}{x - ( - 5 )} - 1 \cdot \frac{y - 5}{x + 5} y - 5 y = = = = = - 1 - 1 - 1 x + 5 x + 10... (2)$

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh

$y 3 x 2 x x y = = = = = = = x + 10 x + 10 105 x + 10 5 + 10 15$

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik $B (x, y) = B (5, 15)$ .

b. Jika $O, A, B, dan C$ merupakan titik yang berada pada lingkaran, maka $∠ OAB = 9 0^{\circ}$ merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter lingkaran yaitu $OB$ . Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, titik pusat lingkaran merupakan titik tengah $OB$ , yaitu

$P (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}) = = P (\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 15}{2}) P (\frac{5}{2}, \frac{15}{2})$

dan jari-jari lingkaran tersebut adalah setengah dari $OB$ , yaitu

$r = = = = = \frac{1}{2} OB \frac{1}{2} 5^{2} + 1 5^{2} \frac{1}{2} 25 + 225 \frac{1}{2} 250 \frac{5}{2} 10$

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ sebagai berikut.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Dengan demikian, persamaan lingkaran berpusat di $P (\frac{5}{2}, \frac{15}{2})$ dan berjari-jari $r = \frac{5}{2} 10$ adalah

$(x - \frac{5}{2})^{2} + (y - \frac{15}{2})^{2} = (\frac{5}{2} 10)^{2} (x - \frac{5}{2})^{2} + (y - \frac{15}{2})^{2} = \frac{250}{2}$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang diameternyamerupakan garis yang menghubungkantitik ( 1 , 5 ) dan ( 9 , 1 ) adalah ...

4.8

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang diameternyamerupakan garis yang menghubungkantitik ( 1 , 5 ) dan ( 9 , 1 ) adalah ...

4.8

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. b . ( 0 , 0 ) dan ( 8 , 6 )

3.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. c . ( 2 , 1 ) dan ( − 2 , 9 )

2.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. f . ( 3 , 5 ) dan ( 8 , 17 )

5.0

Jawaban terverifikasi