Diketahui f ( x ) = ( 1 + a ) x 3 − 3 b x 2 − 3 x . Jika f ′′ ( x ) habis dibagi ( x + 1 ) , maka kurva y = f ( x ) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika .... (SBMPTN 2013)

Pembahasan

Turunan kedua dari fungsi f ( x ) = ( 1 + a ) x 3 − 3 b x 2 − 3 x yaitu : f ′ ( x ) f ′′ ( x ) ​ = = ​ 3 ( 1 + a ) x 2 − 6 b x − 3 6 ( 1 + a ) x − 6 b ​ Jika f ′′ ( x ) habis dibagi ( x + 1 ) maka diperoleh : f ′′ ( − 1 ) = 0 ​ ⇒ ​ f ′′ ( x ) = 6 ( 1 + a ) x − 6 b f ′′ ( − 1 ) = 6 ( 1 + a ) ( − 1 ) − 6 b 0 = − 6 − 6 a − 6 b − 6 = 6 a + 6 b − 1 = a + b a = − 1 − b ​ Tidak memiliki titik ekstrem lokal berarti tidak memotong sumbu X, maka : D b 2 − 4 a c ( − 6 b ) 2 − 4 ( 3 ) ( 1 + a ) ( − 3 ) 36 b 2 + 36 ( 1 ​ + ( − 1 ​ − b ) ) b 2 − b b ( b − 1 ) ​ < < < < < < ​ 0 0 0 0 0 0 ​ Pembuat nol : b = 0 dan b = 1 . Dengan demikian,kurva y = f ( x ) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika 0 < b < 1 . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.