Pertanyaan

Diketahui sin ( x ) + sin ( y ) = 2 1 dan cos ( x ) + cos ( y ) = 3 1 dengan x dan y sudut lancip. Hitunglah: cos ( x − y )

Diketahui $sin (x) + sin (y) = \frac{1}{2} dan cos (x) + cos (y) = \frac{1}{3}$ dengan $x dan y$ sudut lancip. Hitunglah:

$cos (x - y)$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh cos ( x − y ) = − 72 59 .

diperoleh

cos (x - y) = - \frac{59}{72}

Pembahasan

Diketahui sin ( x ) + sin ( y ) = 2 1 dan cos ( x ) + cos ( y ) = 3 1 , akan dibuktikan cos ( x − y ) Ingat bahwa cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y sin 2 x + cos 2 x = 1 Diperoleh perhitungan ( sin ( x ) + sin ( y ) ) 2 + ( cos ( x ) + cos ( y ) ) 2 sin 2 x + 2 sin x sin y + sin 2 y + cos 2 x + 2 cos x cos y + cos 2 y ( sin 2 x + co s 2 x ) + 2 sin x sin y + 2 cos x cos y + ( sin 2 y + cos 2 y ) 1 + 2 sin x sin y + 2 cos x cos y + 1 2 ( sin x sin y + cos x cos y ) 2 ( sin x sin y + cos x cos y ) sin x sin y + cos x cos y cos ( x − y ) = = = = = = = = ( 2 1 ) 2 + ( 3 1 ) 2 4 1 + 9 1 36 13 36 13 36 13 − 2 − 36 59 − 72 59 − 72 59 Dengan demikian, diperoleh cos ( x − y ) = − 72 59 .

Diketahui $sin (x) + sin (y) = \frac{1}{2} dan cos (x) + cos (y) = \frac{1}{3}$ , akan dibuktikan $cos (x - y)$

Ingat bahwa

$cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Diperoleh perhitungan

$(sin (x) + sin (y))^{2} + (cos (x) + cos (y))^{2} sin^{2} x + 2 sin x sin y + sin^{2} y + cos^{2} x + 2 cos x cos y + cos^{2} y (sin^{2} x + co s^{2} x) + 2 sin x sin y + 2 cos x cos y + (sin^{2} y + cos^{2} y) 1 + 2 sin x sin y + 2 cos x cos y + 1 2 (sin x sin y + cos x cos y) 2 (sin x sin y + cos x cos y) sin x sin y + cos x cos y cos (x - y) = = = = = = = = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{3})^{2} \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \frac{13}{36} \frac{13}{36} \frac{13}{36} - 2 - \frac{59}{36} - \frac{59}{72} - \frac{59}{72}$