Pertanyaan

Hitunglah cos 2 ( θ + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( 6 0 ∘ − θ ) − sin 2 θ

Hitunglah $cos^{2} (θ + 6 0^{\circ}) + cos^{2} (6 0^{\circ} - θ) - sin^{2} θ$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai cos 2 ( θ + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( 6 0 ∘ − θ ) − sin 2 θ adalah 2 1 .

nilai

cos^{2} (θ + 6 0^{\circ}) + cos^{2} (6 0^{\circ} - θ) - sin^{2} θ

adalah

\frac{1}{2}

Pembahasan

Ingat kembali rumus perbandingan trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut berikut. cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B Makasoal di atas dapat dibuktikan dengan perhitunganberikut. cos 2 ( θ + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( 6 0 ∘ − θ ) − sin 2 θ = ( cos θ cos 6 0 ∘ − sin θ sin 6 0 ∘ ) + ( cos 6 0 ∘ cos θ + sin 6 0 ∘ sin θ ) − sin 2 θ = ( 2 1 cos θ − 2 1 3 cos θ ) 2 + ( 2 1 cos θ − 2 1 3 cos θ ) 2 − sin 2 θ = 4 1 cos 2 θ − 2 1 3 sin θ cos θ + 4 3 sin 2 θ + 4 1 cos 2 θ + 2 1 3 sin θ cos θ + 4 3 sin 2 θ − sin 2 θ = 4 2 cos 2 θ + 4 2 sin 2 θ = 2 1 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = 2 1 ( 1 ) = 2 1 Dengan demikian, nilai cos 2 ( θ + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( 6 0 ∘ − θ ) − sin 2 θ adalah 2 1 .

Ingat kembali rumus perbandingan trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut berikut.

$cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$

$cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$

Maka soal di atas dapat dibuktikan dengan perhitungan berikut.

$cos^{2} (θ + 6 0^{\circ}) + cos^{2} (6 0^{\circ} - θ) - sin^{2} θ = (cos θ cos 6 0^{\circ} - sin θ sin 6 0^{\circ}) + (cos 6 0^{\circ} cos θ + sin 6 0^{\circ} sin θ) - sin^{2} θ = (\frac{1}{2} cos θ - \frac{1}{2} 3 cos θ)^{2} + (\frac{1}{2} cos θ - \frac{1}{2} 3 cos θ)^{2} - sin^{2} θ = \frac{1}{4} cos^{2} θ - \frac{1}{2} 3 sin θ cos θ + \frac{3}{4} sin^{2} θ + \frac{1}{4} cos^{2} θ + \frac{1}{2} 3 sin θ cos θ + \frac{3}{4} sin^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{2}{4} cos^{2} θ + \frac{2}{4} sin^{2} θ = \frac{1}{2} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$