Hitunglah cos2 (θ+60∘)+ cos2 (60∘−θ)−sin2 θ

Pertanyaan

Hitunglah $\cos^2\;(\theta+60^\circ)+\;\cos^2\;\left(60^\circ-\theta\right)-\sin^2\;\theta$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai $\cos^2\;(\theta+60^\circ)+\;\cos^2\;\left(60^\circ-\theta\right)-\sin^2\;\theta$ adalah $\frac12$ .

Pembahasan

Ingat kembali rumus perbandingan trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut berikut.

$\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)=\cos\;\mathrm A\;\cos\;\mathrm B+\sin\;\mathrm A\;\sin\;\mathrm B$

$\cos\;\left(\mathrm A+\mathrm B\right)=\cos\;\mathrm A\;\cos\;\mathrm B-\sin\;\mathrm A\;\sin\;\mathrm B$

Maka soal di atas dapat dibuktikan dengan perhitungan berikut.

$\style{font-size:12px}{\cos^2\;(\theta+60^\circ)+\;\cos^2\;\left(60^\circ-\theta\right)-\sin^2\;\theta\\=\left(\cos\;\theta\;\cos\;60^\circ-\sin\;\theta\;\sin\;60^\circ\right)+\left(\cos\;60^\circ\;\cos\;\theta+\sin\;60^\circ\;\sin\;\theta\right)-\sin^2\;\theta\\=\left(\frac12\cos\;\theta-\frac12\sqrt3\cos\;\theta\right)^2+\left(\frac12\cos\;\theta-\frac12\sqrt3\cos\;\theta\right)^2-\sin^2\;\theta\\=\frac14\cos^2\theta-\frac12\sqrt3\sin\theta\;\cos\;\theta+\frac34\sin^2\;\theta+\frac14\cos^2\;\theta+\frac12\sqrt3\sin\theta\;\cos\;\theta+\frac34\sin^2\;\theta-\sin^2\;\theta\\=\frac24\cos^2\;\theta+\frac24\sin^2\;\theta\\=\frac12\left(\cos^2\;\theta+\sin^2\;\theta\right)\\=\frac12\left(1\right)\\=\frac12}$

Dengan demikian, nilai $\cos^2\;(\theta+60^\circ)+\;\cos^2\;\left(60^\circ-\theta\right)-\sin^2\;\theta$ adalah $\frac12$ .