Diketahui a + b = i − j ​ + 4 k dan ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ = 14 ​ . Hasil dari a ∙ b adalah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Apabila diketahui a = ⎝ ⎛ ​ a 1 ​ a 2 ​ a 3 ​ ​ ⎠ ⎞ ​ dan b = ⎝ ⎛ ​ b 1 ​ b 2 ​ b 3 ​ ​ ⎠ ⎞ ​ , maka berlaku : ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ = ( a 1 ​ ) 2 + ( a 2 ​ ) 2 + ( a 3 ​ ) 2 ​ ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ 2 = ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 + 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ a − b ∣ ∣ ​ 2 = ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 − 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ Diketahui bahwa a + b = i − j ​ + 4 k = ( 1 , − 1 , 4 ) maka ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ diperoleh : ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ ​ = = = ​ 1 2 + ( − 1 ) 2 + 4 2 ​ 1 + 1 + 16 ​ 18 ​ ​ Karena nilai ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ ​ = ​ 18 ​ ​ maka diasumsikan ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ = 14 ​ pada soal adalah ∣ ∣ ​ a − b ∣ ∣ ​ = 14 ​ . Jika kita aplikasikan rumus ke-2 dan ke-3 di atas maka diperoleh : ∣ ∣ ​ a + b ∣ ∣ ​ 2 ( 18 ​ ) 2 18 ​ = = = ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 + 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 + 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 + 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ … ( i ) ​ ∣ ∣ ​ a − b ∣ ∣ ​ 2 ( 14 ​ ) 2 14 ​ = = = ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 − 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 − 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 − 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ … ( ii ) ​ Kita eliminasi kedua persamaan tersebut diperoleh : ​ ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 ​ + 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ = 18 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ 2 + ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ 2 ​ − 2 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ = 14 − 4 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ = 4 ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ = 4 4 ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ = 1 a ∙ b = 1 ​ ​ ​ Dengan demikian, hasil dari a ∙ b adalah 1 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.