Diketahui a+b=i−j+4k dan ∣∣a+b∣∣=14. Hasil dari a∙b adalah ....

Pertanyaan

Diketahui $\overrightarrow a+\overrightarrow b=\widehat i-\widehat j+4\widehat k$ dan $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt{14}$ . Hasil dari $\overrightarrow a\bullet\overrightarrow b$ adalah ....

$4\sqrt{14}$
$2\sqrt{14}$
$\sqrt{14}$
$1$
$0$

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D.

Apabila diketahui $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ , maka berlaku :

$\left|\overrightarrow a\right|=\sqrt{\left(a_1\right)^2+\left(a_2\right)^2+\left(a_3\right)^2}$
$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|^2=\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|$
$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2=\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|$

Diketahui bahwa $\overrightarrow a+\overrightarrow b=\widehat i-\widehat j+4\widehat k=\left(1,\;-1,\;4\right)$ maka $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|$ diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|&=&\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+4^2}\\&=&\sqrt{1+1+16}\\&=&\sqrt{18}\end{array}$

Karena nilai $\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|&=&\sqrt{18}\end{array}$ maka diasumsikan $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt{14}$ pada soal adalah $\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=\sqrt{14}$ .

Jika kita aplikasikan rumus ke-2 dan ke-3 di atas maka diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|^2&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\\\left(\sqrt{18}\right)^2&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\\18&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\;\dots\;\left(\mathbf i\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\\\left(\sqrt{14}\right)^2&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\\14&=&\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\;\dots\;\left(\mathbf{ii}\right)\end{array}$

Kita eliminasi kedua persamaan tersebut diperoleh :

$\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{c}\cancel{\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2}+2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|=18\\\cancel{\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2}-2\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\;=14\;-\\\hline4\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|=4\\\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|=\frac44\\\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|=1\\\overrightarrow a\bullet\overrightarrow b=1\end{array}\end{array}$

Dengan demikian, hasil dari $\overrightarrow a\bullet\overrightarrow b$ adalah $1$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

5.0 (6 rating)

Pertanyaan serupa

Misalkan diketahui vektor a=⎝⎛1−23−213⎠⎞ dan vektor b=⎝⎛−12321⎠⎞. a. tentukan vektor (a+b) dan vektor (a−b). b. Jika θ adalah sudut antara vektor (a+b) dan vektor (a−b), hitunglah nilai ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui ∣∣a∣∣=3, ∣∣b∣∣=5, dan ∣∣a−b∣∣=211. Nilai ∣∣a+b∣∣ adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan bahwa segitiga KLM dengan koordinat K(2, −3, 2), L(−1, 0, 2), dan M(0, 1, 4) merupakan segitiga siku-siku.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui ∣∣a∣∣=2, ∣∣b∣∣=2, dan ∣a−b∣=3. Panjang vektor a+b=...

146

3.8

Jawaban terverifikasi