Diketahui dan dengan A sudut lancip dan B sudut tumpul. Tentukan nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut: b.

Pertanyaan

Diketahui $begin mathsize 14px style tan space A equals fraction numerator negative 4 over denominator 5 end fraction end style$ dan $begin mathsize 14px style tan space B equals 7 over 24 end style$ dengan A sudut lancip dan B sudut tumpul. Tentukan nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut:

b. $begin mathsize 14px style C o s space left parenthesis A minus B right parenthesis end style$

Pembahasan Soal:

Diketahui:

$begin mathsize 14px style tan space A equals fraction numerator negative 4 over denominator 5 end fraction end style$ , $begin mathsize 14px style tan space B equals 7 over 24 end style$

Kita cari x dan y terlebih dahulu

$x equals square root of 4 squared plus open parentheses negative 5 close parentheses squared end root equals square root of 16 plus 25 end root equals square root of 41 y equals square root of 7 squared plus 24 squared end root equals square root of 49 plus 576 end root equals square root of 625 equals 25$

$sin space A equals fraction numerator negative 4 over denominator square root of 41 end fraction cos space A equals fraction numerator negative 5 over denominator square root of 41 end fraction sin space B equals fraction numerator negative 7 over denominator 25 end fraction cos space B equals 24 over 25$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos left parenthesis A minus B right parenthesis end cell equals cell cos space A times cos space B plus sin space A times sin space B end cell row blank equals cell fraction numerator negative 5 over denominator square root of 41 end fraction times 24 over 25 plus fraction numerator negative 4 over denominator square root of 41 end fraction times fraction numerator negative 7 over denominator 25 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 120 over denominator 25 square root of 41 end fraction plus fraction numerator 28 over denominator 25 square root of 41 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 92 over denominator 25 square root of 41 end fraction end cell end table$

Jadi. nilai $begin mathsize 14px style C o s space left parenthesis A minus B right parenthesis end style$ adalah $fraction numerator negative 92 over denominator 25 square root of 41 end fraction$ .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Mustikowati

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jakarta

Terakhir diupdate 03 Mei 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukan himpunan penyelesaian tiap persamaan berikut untuk . b.

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

Kalimat yang memuat variabel sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) disebut kalimat terbuka.
Persamaan akan menjadi kalimat benar hanya jika variabel diganti dengan suatu bilangan. Dengan demikian, jika variabel tersebut diganti dengan bilangan lain akan menjadi kalimat salah.
Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.
Menambah atau mengurang kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama bertujuan agar dalam satu ruas persamaan terdapat variabel saja atau bilangan konstan saja.
Untuk menye1esaikan suatu persamaan, usahakan agar variabel terletak dalam satu ruas (biasanya di ruas kiri), sedangkan bilangan tetap (konstan) di ruas yang lain.
$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus b end cell equals c row cell a plus b minus b end cell equals cell c minus b end cell row a equals cell c minus b end cell row blank blank blank row cell a minus b end cell equals c row cell a minus b plus b end cell equals cell c plus b end cell row a equals cell c plus b end cell end table$

Persamaan $x plus 16 equals 7$ .
Penyelesaian:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 16 end cell equals cell negative 7 end cell row cell x plus 16 minus 16 end cell equals cell negative 7 minus 16 end cell row x equals cell negative 23 end cell end table$
(kedua ruas dikurang 16 agar ruas kiri tidak memuat 16)

Sehingga, penyelesaiannya adalah $x equals negative 23$ .

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $x equals negative 23$ .

Roboguru

Jika α,β dan γ merupakan sudut-sudut △ABC dan1+cos2α+cos2β+cos2γ=sin2α+sin2β+sin2γ, tunjukkan bahwa △ABC merupakan segitiga siku-siku!

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus identitas Trigonometri

$sin^{2} α + cos^{2} β = 1$

Sudut berelasi

$cos (π - α) = - cos α$

Rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu

$cos (α + β) cos (α - β) cos (α + β) \cdot cos (α - β) = = = = = = = cos α cos β - sin α sin β cos α cos β + sin α sin β (cos α cos β - sin α sin β) (cos α cos β + sin α sin β) cos^{2} α cos^{2} β - sin^{2} α sin^{2} β cos^{2} α (1 - sin^{2} β) - (1 - cos^{2} α) sin^{2} β cos^{2} α - cos^{2} α sin^{2} β - sin^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β cos^{2} α - sin^{2} β$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$α + β + γ α cos α cos (β + γ) = = = = = π π - (β + γ) cos (π - (β + γ)) - cos (β + γ) cos (π - α)$

Sehingga

$1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ 1 + (1 - sin^{2} α) + (1 - sin^{2} β) + (1 - sin^{2} γ) 4 - (sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ) 44 sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ = = = = = = = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ + sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ 2 (sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ) \frac{4}{2} 2$

Selanjutnya

$sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ (1 - cos^{2} α) + (1 - cos^{2} β) + (1 - cos^{2} γ) 3 - (cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ) cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = = = = = 222 3 - 2 1$

$cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ cos^{2} α + cos^{2} β cos^{2} α + cos^{2} β cos^{2} α + cos^{2} β - sin^{2} y cos^{2} α + cos (β + γ) cos (β - γ) cos^{2} α + cos (π - α) cos (β - γ) cos^{2} α + cos (π - α) cos (β - γ) cos^{2} α - cos α cos (β - γ) cos α (cos α - cos (β - γ)) cos α [cos (π - (β + γ)) - cos (β - γ)] cos α [- cos (β + γ) - cos (β - γ)] - cos α [cos (β + γ) + cos (β - γ)] - cos α [cos β + cos γ - sin β sin γ + cos β cos γ + sin β sin γ] - cos α [2 cos β cos γ] - 2 cos α cos β cos γ cos α α cos β β cos γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 1 - cos^{2} γ sin^{2} y 0000000000000 9 0^{\circ} atau 0 9 0^{\circ} atau 0 9 0^{\circ}$

Dengan demikian terbukti bahwa jika $1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ$ , maka $△ ABC$ merupakan segitiga siku-siku!

Roboguru

Misalkan, sudut pada segitiga ABC adalah A, B, dan C. Jika , maka nilai dari adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

$sin space open parentheses 180 minus a close parentheses equals sin space a$

$sin space a plus sin space b equals 2 space sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses$

$cos space open parentheses a plus b close parentheses equals cos space a space cos space b minus sin space a space sin space b$

$cos space open parentheses a minus b close parentheses equals cos space a space cos space b plus sin space a space sin space b$

$sin space a plus b equals 2 space sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses$

$tan space a equals fraction numerator sin space a over denominator cos space a end fraction$

jumlah semua sudut pada segitiga adalah $180 degree$ , sehingga:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell A plus B plus C end cell equals cell 180 degree end cell row A equals cell 180 minus open parentheses A plus B close parentheses end cell end table$

Sehingga diperoleh perhitungan:

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space A end cell row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space open parentheses 180 minus open parentheses B plus C close parentheses close parentheses end cell row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space open parentheses B plus C close parentheses end cell row cell 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses close parentheses end cell row cell up diagonal strike 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times end strike cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 times up diagonal strike 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end strike times cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row cell cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row cell cos space 1 half B times cos space 1 half C plus sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell 2 open parentheses cos space 1 half B times cos space 1 half C minus sin space 1 half B times sin space 1 half C close parentheses end cell row cell cos space 1 half B times cos space 1 half C plus sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell 2 cos space 1 half B times cos space 1 half C minus 2 sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell row cell 3 sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell cos space 1 half B times cos space 1 half C end cell row cell fraction numerator sin space 1 half B times sin space 1 half C over denominator cos space 1 half B times cos space 1 half C end fraction end cell equals cell 1 third end cell row cell tan space 1 half B space tan space 1 half C end cell equals cell 1 third end cell end table end style$

Dengan demikian, $tan space B over 2 times tan space C over 2$ adalah $1 third$

Jadi, jawaban yang tepat adalah A

Roboguru

Tentukan himpunan penyelesaian tiap persamaan berikut untuk . d.

Pembahasan Soal:

Mencari himpunan penyelesaian:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 sin open parentheses x plus 15 degree close parentheses cos open parentheses x minus 15 degree close parentheses end cell equals 1 row cell sin open parentheses x plus 15 degree close parentheses cos open parentheses x minus 15 degree close parentheses end cell equals cell 1 half end cell end table$
$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell sin open parentheses x plus 15 degree close parentheses equals 1 half end cell row blank rightwards arrow cell x plus 15 degree equals 30 degree plus 360 degree n end cell row x equals cell 360 degree n plus 15 degree end cell row blank rightwards arrow cell thin space x plus 15 degree equals 150 degree plus 360 degree n end cell row x equals cell 360 degree n plus 135 degree end cell end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell cos open parentheses x minus 15 degree close parentheses equals 1 half end cell row blank rightwards arrow cell x minus 15 degree equals 60 degree plus 360 degree n end cell row x equals cell 360 degree n plus 75 degree end cell row blank blank blank row blank rightwards arrow cell x minus 15 degree equals 300 degree plus 360 degree n end cell row x equals cell 360 degree n plus 315 degree end cell end table$

Himpunan penyelesaian yang memenuhi $0 degree less or equal than x less or equal than 360 degree$ adalah sebagai berikut:

$table attributes columnalign center left center end attributes row blank cell x equals 360 degree n plus 15 degree end cell blank row cell x equals 0 rightwards arrow end cell cell x equals 15 degree end cell blank row blank cell x equals 360 degree n plus 135 degree end cell blank row cell x equals 0 rightwards arrow end cell cell x equals 135 degree end cell blank row blank cell x equals 360 degree n plus 75 degree end cell blank row cell x equals 0 rightwards arrow end cell cell x equals 75 degree end cell blank row blank cell x equals 360 degree n plus 315 degree end cell blank row cell x equals 0 rightwards arrow end cell cell x equals 315 degree end cell blank end table$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $HP equals left curly bracket 15 degree comma space 75 degree comma space 135 degree comma space 315 degree right curly bracket$ .

Roboguru

Jika dan , tunjukkan bahwa: b.

Pembahasan Soal:

Substitusi $alpha equals 60 degree$ dan $beta equals 30 degree$ ke dalam persamaan.

Dipeoroleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell cos space alpha space cos space beta plus sin space alpha space sin space beta end cell row cell cos space open parentheses 60 degree minus 30 degree close parentheses end cell equals cell cos space 60 degree times cos space 30 degree plus sin space 60 degree times sin space 30 degree end cell row cell cos space 30 degree end cell equals cell cos space 60 degree times cos space 30 degree plus sin space 60 degree times sin space 30 degree end cell row cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell equals cell 1 half times fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction times 1 half end cell row cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction plus fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end cell row cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 square root of 3 over denominator 4 end fraction end cell row cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell end table$

Karena diperoleh hasil ruas kiri sama dengan hasil ruas kanan, maka terbukti bahwa $cos space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals cos space alpha space cos space beta plus sin space alpha space sin space beta$ .

Roboguru