Pertanyaan

Diketahui x ≥ 1 dan n adalah bilangan bulat positif. Jika ,maka nilai dari adalah ....

Diketahui $x \geq 1$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif. Jika integral x to the power of n ln open parentheses x close parentheses space d x equals 1 over 16 x to the power of 4 open parentheses 4 ln open parentheses x close parentheses minus 1 close parentheses plus C , maka nilai dari adalah ....

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Dari soal, diketahui hasil integral sebagai berikut. Terlebih dahulu, bentuk akan diselesaikan dengan menerapkan metode integral parsial. Misal dan , maka didapat perhitungan sebagai berikut. dan Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut! Diketahui bahwa , maka didapat hubungan berikut ini. Dengan menyamakan suku pada persamaan di atas,didapat hasil sebagai berikut. Jika disubstitusi ke bagian yang lain, dapat diperiksa bahwa persamaan tersebut terpenuhi. Dengan demikian,nilai dari adalah 3. Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Dari soal, diketahui hasil integral sebagai berikut.

integral x to the power of n ln open parentheses x close parentheses space d x equals 1 over 16 x to the power of 4 open parentheses 4 ln open parentheses x close parentheses minus 1 close parentheses plus C

Terlebih dahulu, bentuk integral x to the power of n ln open parentheses x close parentheses akan diselesaikan dengan menerapkan metode integral parsial.

Misal u equals ln open parentheses x close parentheses dan $fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals x to the power of n$ , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

$fraction numerator d u over denominator d x end fraction equals 1 over x$

dan

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row v equals cell integral fraction numerator d v over denominator d x end fraction space d x end cell row blank equals cell integral x to the power of n space d x end cell row blank equals cell fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction plus C end cell end table$

Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell integral x to the power of n ln open parentheses x close parentheses space d x end cell row blank equals cell integral u fraction numerator d v over denominator d x end fraction space d x end cell row blank equals cell u v minus integral v fraction numerator d u over denominator d x end fraction space d x end cell row blank equals cell ln open parentheses x close parentheses times fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction minus integral fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction times 1 over x space d x end cell row blank equals cell ln open parentheses x close parentheses times fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction minus integral fraction numerator x to the power of n over denominator n plus 1 end fraction space d x end cell row blank equals cell ln open parentheses x close parentheses times fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction minus open parentheses fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction times fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction x to the power of n plus 1 end exponent close parentheses plus C end cell row blank equals cell ln open parentheses x close parentheses times fraction numerator x to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction minus x to the power of n plus 1 end exponent over open parentheses n plus 1 close parentheses squared plus C end cell row blank equals cell 1 over open parentheses n plus 1 close parentheses squared x to the power of n plus 1 end exponent open parentheses open parentheses n plus 1 close parentheses times ln open parentheses x close parentheses minus 1 close parentheses plus C end cell end table$

Diketahui bahwa integral x to the power of n ln open parentheses x close parentheses space d x equals 1 over 16 x to the power of 4 open parentheses 4 ln open parentheses x close parentheses minus 1 close parentheses plus C , maka didapat hubungan berikut ini.

Dengan menyamakan suku pada persamaan di atas, didapat hasil sebagai berikut.

Jika disubstitusi n equals 3 ke bagian yang lain, dapat diperiksa bahwa persamaan tersebut terpenuhi.

Dengan demikian, nilai dari adalah 3.

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.