Pertanyaan

Diketahui barisan aritmetika: 1 , 7 , 13 , 19 , … a. Setiap dua suku barisan semuladisisipkan dua bilangan sehinggaterbentuk barisan aritmetika baru.Tentukan beda dari barisan aritmetikayang baru. Petunjuk: Suku kedua di barisan semulamenjadi suku ke − 4 di barisan baru. b. Tentukan suku ke − n dari barisan yang baru. c. Tentukan jumlah n suku pertama dari barisan baru. d. Jika semula ada m suku, tentukan banyaknya suku barisan yang baru.

Diketahui barisan aritmetika:

$1, 7, 13, 19, \dots$

a. Setiap dua suku barisan semula disisipkan dua bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru. Tentukan beda dari barisan aritmetika yang baru.

Petunjuk: Suku kedua di barisan semula menjadi suku ke $- 4$ di barisan baru.

b. Tentukan suku ke $- n$ dari barisan yang baru.

c. Tentukan jumlah $n$ suku pertama dari barisan baru.

d. Jika semula ada $m$ suku, tentukan banyaknya suku barisan yang baru.

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah suku-suku pada barisan yang baru adalah 3 m − 2 suku.

jumlah suku-suku pada barisan yang baru adalah

3 m - 2

suku.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. Beda dari barisan yang baru 2 , b. Suku ke − n dari barisan yang baru 2 n − 1 , c. Jumlah n suku pertama dari barisan yang baru n 2 , d. jumlah suku-suku pada barisan yang baru 3 m − 2 . Ingat! Rumus suku ke − n pada barisan aritmatika adalah: U n = a + ( n − 1 ) b Apabila dalam sebuah barisan aritmatika disisipkan bilangan baru maka akan terbentuk barisan baru, maka rumus mencari beda dari barisan aritmatika yang baru adalah: b ′ = k + 1 b Rumus mencari jumlah n suku pertama pada deret aritmatika adalah: S n = 2 n ( 2 a + ( n − 1 ) b ) keterangan: U n = suku ke − n U 1 = a = suku pertama barisan aritmatika b = beda b ′ = beda suku yang baru k = jumlah bilangan yang disisipkan S n = jumlah n suku pertama a. Berdasarkan rumus beda dari barisan aritmatika yang baru, maka dengan a = 1 , b = 7 − 1 = 6 , k = 2 diperoleh: b ′ = = = = k + 1 b 2 + 1 6 3 6 2 Dengan demikian, beda dari barisan yang baru adalah 2. b. Berdasarkan perhitungan menggunakan rumus suku ke − n diperoleh: U n = = = = a + ( n − 1 ) b 1 + ( n − 1 ) 2 1 + 2 n − 2 2 n − 1 Dengan demikian, suku ke − n dari barisan yang baru adalah 2 n − 1 . c. Berdasarkan perhitungan menggunakan rumus jumlah n suku pertamadiperoleh: S n = = = = = 2 n ( 2 a + ( n − 1 ) b ) 2 n ( 2 ⋅ 1 + ( n − 1 ) 2 ) n ( 1 + ( n − 1 ) n ⋅ n n 2 Dengan demikian, jumlah n suku pertama dari barisan yang baru adalah n 2 . d. Dalam barisan mula-mula, ada m suku. Oleh karena antarsuku disisipkan 2 bilangan, maka banyak tambahan suku-suku baru adalah: ( m − 1 ) 2 = 2 m − 2 Kemudian jumlah suku-suku pada barisan baru diperoleh dengan menambahkan jumlah suku-suku yang lama dan tambahan suku-suku baru tersebut yaitu: m + 2 m − 2 = 3 m − 2 Dengan demikian, jumlah suku-suku pada barisan yang baru adalah 3 m − 2 suku.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

a. Beda dari barisan yang baru $2$ ,

b. Suku ke $- n$ dari barisan yang baru $2 n - 1$ ,

c. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan yang baru $n^{2}$ ,

d. jumlah suku-suku pada barisan yang baru $3 m - 2$ .

Ingat!

Rumus suku ke $- n$ pada barisan aritmatika adalah:

$U_{n} = a + (n - 1) b$

Apabila dalam sebuah barisan aritmatika disisipkan bilangan baru maka akan terbentuk barisan baru, maka rumus mencari beda dari barisan aritmatika yang baru adalah:

$b^{'} = \frac{b}{k + 1}$

Rumus mencari jumlah $n$ suku pertama pada deret aritmatika adalah:

$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b)$

keterangan:

$U_{n} = suku ke - n U_{1} = a = suku pertama barisan aritmatika b = beda b^{'} = beda suku yang baru k = jumlah bilangan yang disisipkan S_{n} = jumlah n suku pertama$

a. Berdasarkan rumus beda dari barisan aritmatika yang baru, maka

dengan $a = 1, b = 7 - 1 = 6, k = 2$ diperoleh:

$b^{'} = = = = \frac{b}{k + 1} \frac{6}{2 + 1} \frac{6}{3} 2$

Dengan demikian, beda dari barisan yang baru adalah 2.

b. Berdasarkan perhitungan menggunakan rumus suku ke $- n$ diperoleh:

$U_{n} = = = = a + (n - 1) b 1 + (n - 1) 2 1 + 2 n - 2 2 n - 1$

Dengan demikian, suku ke $- n$ dari barisan yang baru adalah $2 n - 1$ .

c. Berdasarkan perhitungan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama diperoleh:

$S_{n} = = = = = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \frac{n}{2} (2 \cdot 1 + (n - 1) 2) n (1 + (n - 1) n \cdot n n^{2}$

Dengan demikian, jumlah $n$ suku pertama dari barisan yang baru adalah $n^{2}$ .

d. Dalam barisan mula-mula, ada $m$ suku. Oleh karena antarsuku disisipkan 2 bilangan, maka banyak tambahan suku-suku baru adalah:

$(m - 1) 2 = 2 m - 2$

Kemudian jumlah suku-suku pada barisan baru diperoleh dengan menambahkan jumlah suku-suku yang lama dan tambahan suku-suku baru tersebut yaitu:

$m + 2 m - 2 = 3 m - 2$

Dengan demikian, jumlah suku-suku pada barisan yang baru adalah $3 m - 2$ suku.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Antara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan sehingga kumpulan bilangan tersebut menjadi deret aritmetika, maka jumlah deret aritmetika yang terjadi adalah...

5.0

Jawaban terverifikasi

Suku ke- n barisan aritmetika adalah U n = 6 n + 4 . Di setiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru sehingga membentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui barisan aritmetika 4 , 16 , 28 , 40 , ... , 160 . Jika di antara dua suku berurutan disisipkan 3 bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru, tentukan: beda barisan baru setelah ...

4.8

Jawaban terverifikasi

Antara bilangan 440 dan 1.256 disisipkan 15 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dan suku ke- 11 barisan tersebut.

3.6

Jawaban terverifikasi

Suku ke- n barisan aritmetika adalah U n = 6 n + 4 . Di setiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru sehingga membentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi