Diketahui balok OABC . DEFG dengan O merupakan titik pangkal. Koordinat titik F ( 3 , 4 , 12 ) , titik A terletak pada sumbu X , titik C terletak pada sumbu Y , dan titik D terletak pada sumbu Z . Tentukan: a. koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui pada balok tersebut, serta b. nyatakan vektor-vektor berikut ke dalam i , j ​ , dan k . A C A G + A C A P jika P terletak pada DG sehingga DP : PG = 1 : 3 .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 3 , 0 , 0 ) , B ( 3 , 4 , 0 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 12 ) , E ( 3 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) b.1. AC → = − 3 i → + 4 j → ​ + 0 k → b.2 AG → + AC → = − 6 i → + 8 j → ​ + 12 k → b.3 AP → = − 3 i → + 1 j → ​ + 12 k → Ingat! Di dalam ruang, dikenal tiga vektor basis atau vektor satuan, yaitu i , j ​ , dan k , dengan ketiga vektor tersebut tidak sebidang atau tak koplanar. Jika koordinat A ( x , y , z ) , maka vektor ( O A ) ​ atau a = x i + y j ​ + z k . Perhatikan ilustrasi berikut! a. Berdasarkan ilustrasi tersebut, diperoleh koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui yaitu: O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 3 , 0 , 0 ) , B ( 3 , 4 , 0 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 12 ) , E ( 3 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) b. Berdasarkan titik-titik koordinat yang sudah diketahui pada jawaban a, maka dapat ditentukan vektor-vektor berikut: 1. A C A C ​ = = = ​ c − a ( 0 i + 4 j ​ + 0 k ) − ( 3 i + 0 j ​ + 0 k ) − 3 i + 4 j ​ + 0 k ​ Dengan demikian, A C = − 3 i + 4 j ​ + 0 k 2. A G + A C A G + A C ​ = = = = = ​ ( g ​ − a ) + ( c − a ) g ​ − 2 a + c ( 0 i + 4 j ​ + 12 k ) − 2 ( 3 i + 0 j ​ + 0 k ) + ( 0 i + 4 j ​ + 0 k ) ( 0 − 6 + 0 ) i + ( 4 − 0 + 4 ) j ​ + ( 12 − 0 + 0 ) k − 6 i + 8 j ​ + 12 k ​ Dengan demikian, A G + A C = − 6 i + 8 j ​ + 12 k . 3. Ingat! Untuk menentukan koordinat P dengan P terletak pada DG , digunakan rumus berikut: x p ​ = m + n n x d ​ + m x g ​ ​ , y p ​ = m + n n y d ​ + m y g ​ ​ , z p ​ = m + n n z d ​ + m z g ​ ​ dengan m = 1 dan n = 3 , D ( 0 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) sehingga diperoleh: x p ​ y p ​ z p ​ ​ = = = = = = ​ 1 + 3 3 ( 0 ) + 1 ( 0 ) ​ 0 1 + 3 3 ( 0 ) + 1 ( 4 ) ​ 1 1 + 3 3 ( 12 ) + 1 ( 12 ) ​ 12 ​ Jadi, koordinat P ( 0 , 1 , 12 ) , sehingga dapat dihitung A P adalah A P ​ = = = ​ p ​ − a ( 0 i + 1 j ​ + 12 k ) − ( 3 i + 0 j ​ + 0 k ) − 3 i + 1 j ​ + 12 k ​ Dengan demikian, A P = − 3 i + 1 j ​ + 12 k .