Pertanyaan

Diketahui balok OABC . DEFG dengan O merupakan titik pangkal. Koordinat titik F ( 3 , 4 , 12 ) , titik A terletak pada sumbu X , titik C terletak pada sumbu Y , dan titik D terletak pada sumbu Z . Tentukan: a. koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui pada balok tersebut, serta b. nyatakan vektor-vektor berikut ke dalam i , j , dan k . A C A G + A C A P jika P terletak pada DG sehingga DP : PG = 1 : 3 .

Diketahui balok $OABC . DEFG$ dengan $O$ merupakan titik pangkal. Koordinat titik $F (3, 4, 12)$ , titik $A$ terletak pada sumbu $X$ , titik $C$ terletak pada sumbu $Y$ , dan titik $D$ terletak pada sumbu $Z$ . Tentukan:

a. koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui pada balok tersebut, serta

b. nyatakan vektor-vektor berikut ke dalam $i, j, dan k$ .

$A C$
$A G + A C$
$A P$ jika $P$ terletak pada $DG$ sehingga $DP : PG = 1 : 3$ .

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

A P = − 3 i + 1 j + 12 k .

A P = - 3 i + 1 j + 12 k

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 3 , 0 , 0 ) , B ( 3 , 4 , 0 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 12 ) , E ( 3 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) b.1. AC → = − 3 i → + 4 j → + 0 k → b.2 AG → + AC → = − 6 i → + 8 j → + 12 k → b.3 AP → = − 3 i → + 1 j → + 12 k → Ingat! Di dalam ruang, dikenal tiga vektor basis atau vektor satuan, yaitu i , j , dan k , dengan ketiga vektor tersebut tidak sebidang atau tak koplanar. Jika koordinat A ( x , y , z ) , maka vektor ( O A ) atau a = x i + y j + z k . Perhatikan ilustrasi berikut! a. Berdasarkan ilustrasi tersebut, diperoleh koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui yaitu: O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 3 , 0 , 0 ) , B ( 3 , 4 , 0 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 12 ) , E ( 3 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) b. Berdasarkan titik-titik koordinat yang sudah diketahui pada jawaban a, maka dapat ditentukan vektor-vektor berikut: 1. A C A C = = = c − a ( 0 i + 4 j + 0 k ) − ( 3 i + 0 j + 0 k ) − 3 i + 4 j + 0 k Dengan demikian, A C = − 3 i + 4 j + 0 k 2. A G + A C A G + A C = = = = = ( g − a ) + ( c − a ) g − 2 a + c ( 0 i + 4 j + 12 k ) − 2 ( 3 i + 0 j + 0 k ) + ( 0 i + 4 j + 0 k ) ( 0 − 6 + 0 ) i + ( 4 − 0 + 4 ) j + ( 12 − 0 + 0 ) k − 6 i + 8 j + 12 k Dengan demikian, A G + A C = − 6 i + 8 j + 12 k . 3. Ingat! Untuk menentukan koordinat P dengan P terletak pada DG , digunakan rumus berikut: x p = m + n n x d + m x g , y p = m + n n y d + m y g , z p = m + n n z d + m z g dengan m = 1 dan n = 3 , D ( 0 , 0 , 12 ) , G ( 0 , 4 , 12 ) sehingga diperoleh: x p y p z p = = = = = = 1 + 3 3 ( 0 ) + 1 ( 0 ) 0 1 + 3 3 ( 0 ) + 1 ( 4 ) 1 1 + 3 3 ( 12 ) + 1 ( 12 ) 12 Jadi, koordinat P ( 0 , 1 , 12 ) , sehingga dapat dihitung A P adalah A P = = = p − a ( 0 i + 1 j + 12 k ) − ( 3 i + 0 j + 0 k ) − 3 i + 1 j + 12 k Dengan demikian, A P = − 3 i + 1 j + 12 k .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

a. $O (0, 0, 0), A (3, 0, 0), B (3, 4, 0), C (0, 4, 0), D (0, 0, 12), E (3, 0, 12), G (0, 4, 12)$

b.1. $AC \to = - 3 i \to + 4 j \to + 0 k \to$

b.2 $AG \to + AC \to = - 6 i \to + 8 j \to + 12 k \to$

b.3 $AP \to = - 3 i \to + 1 j \to + 12 k \to$

Ingat!

Di dalam ruang, dikenal tiga vektor basis atau vektor satuan, yaitu $i, j, dan k$ , dengan ketiga vektor tersebut tidak sebidang atau tak koplanar. Jika koordinat $A (x, y, z)$ , maka vektor $(O A)$ atau $a = x i + y j + z k$ .

Perhatikan ilustrasi berikut!

a. Berdasarkan ilustrasi tersebut, diperoleh koordinat titik-titik sudut yang belum diketahui yaitu:

$O (0, 0, 0), A (3, 0, 0), B (3, 4, 0), C (0, 4, 0), D (0, 0, 12), E (3, 0, 12), G (0, 4, 12)$

b. Berdasarkan titik-titik koordinat yang sudah diketahui pada jawaban a, maka dapat ditentukan vektor-vektor berikut:

1. $A C$

$A C = = = c - a (0 i + 4 j + 0 k) - (3 i + 0 j + 0 k) - 3 i + 4 j + 0 k$

Dengan demikian, $A C = - 3 i + 4 j + 0 k$

2. $A G + A C$

$A G + A C = = = = = (g - a) + (c - a) g - 2 a + c (0 i + 4 j + 12 k) - 2 (3 i + 0 j + 0 k) + (0 i + 4 j + 0 k) (0 - 6 + 0) i + (4 - 0 + 4) j + (12 - 0 + 0) k - 6 i + 8 j + 12 k$

Dengan demikian, $A G + A C = - 6 i + 8 j + 12 k$ .

3. Ingat!

Untuk menentukan koordinat $P$ dengan $P$ terletak pada $DG$ , digunakan rumus berikut:

$x_{p} = \frac{n x _{d} + m x _{g}}{m + n}, y_{p} = \frac{n y _{d} + m y _{g}}{m + n}, z_{p} = \frac{n z _{d} + m z _{g}}{m + n}$

dengan $m = 1 dan n = 3$ , $D (0, 0, 12), G (0, 4, 12)$ sehingga diperoleh:

$x_{p} y_{p} z_{p} = = = = = = \frac{3 ( 0 ) + 1 ( 0 )}{1 + 3} 0 \frac{3 ( 0 ) + 1 ( 4 )}{1 + 3} 1 \frac{3 ( 12 ) + 1 ( 12 )}{1 + 3} 12$

Jadi, koordinat $P (0, 1, 12)$ , sehingga dapat dihitung $A P$ adalah

$A P = = = p - a (0 i + 1 j + 12 k) - (3 i + 0 j + 0 k) - 3 i + 1 j + 12 k$

Dengan demikian, $A P = - 3 i + 1 j + 12 k$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Ubahlah titik-titik P ( − 1 , 3 , 0 ) dan Q ( 1 , 2 , − 2 ) dalam bentuk vektor posisi, vektor satuan dan vektor basis!

3.0

Jawaban terverifikasi

Ubahlah titik-titik P ( − 1 , 3 , 0 ) dan Q ( 1 , 2 , − 2 ) dalam bentuk vektor posisi, vektor satuan dan vektor basis!

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor .Vektor satuan dari vektor p adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan vektor satuan dari a = ⎝ ⎛ 2 4 − 10 ⎠ ⎞ dalam bentuk vektor basis!

3.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui A ( 2 , 7 , 8 ) , B ( − 1 , 1 , − 1 ) dan C titik pada AB sedemikian sehingga A C = 3 1 A B . Tentukan vektor A C dalam bentuk x i + y j + z k , kemudian tentukan koordinat titik C.

5.0

Jawaban terverifikasi