Pertanyaan

Diberikan vektor-vektor u dan v dengan u = − 3 i − 4 j + 6 k . Jika w merupakan vektor proyeksi v terhadap u dengan ∣ ∣ w ∣ ∣ = 7 dan z merupakan vektor proyeksi u terhadap v dengan ∣ ∣ z ∣ ∣ = 5 , maka nilaidari ∣ ∣ v ∣ ∣ adalah ....

Diberikan vektor-vektor $u$ dan $v$ dengan $u = - 3 i - 4 j + 6 k$ . Jika $w$ merupakan vektor proyeksi $v$ terhadap $u$ dengan $∣ ∣ w ∣ ∣ = 7$ dan $z$ merupakan vektor proyeksi $u$ terhadap $v$ dengan $∣ ∣ z ∣ ∣ = 5$ , maka nilai dari $∣ ∣ v ∣ ∣$ adalah ....

$5$
$\frac{49}{5}$
$3559$
$\frac{5 59}{7}$
$\frac{7 59}{5}$

N. Putri

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Misalnya v = a i + b j + c k . Perhatikan bahwa w merupakan vektor proyeksi v terhadap u dengan ∣ ∣ w ∣ ∣ = 7 . Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut. ∣ ∣ w ∣ ∣ 7 7 7 7 59 = = = = = ∣ ∣ ∣ u ∣ v ⋅ u ∣ ∣ ∣ ∣ ( − 3 ) 2 + ( − 4 ) 2 + 6 2 ( a i + b j + c k ) ⋅ ( − 3 i − 4 j + 6 k ) ∣ ∣ ∣ ∣ 9 + 16 + 36 − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ∣ 59 ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ... ( 1 ) Kemudian, perhatikan bahwa z merupakan vektor proyeksi u terhadap v dengan ∣ ∣ z ∣ ∣ = 5 . Akibatnya, diperoleh perhitungan sebagai berikut. ∣ ∣ z ∣ ∣ 5 5 5 5 ∣ ∣ v ∣ ∣ = = = = = ∣ ∣ ∣ v ∣ u ⋅ v ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ ( − 3 i − 4 j + 6 k ) ⋅ ( a i + b j + c k ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ ... ( 2 ) Substitusikan pada persamaan (1) ke (2) sehingga didapat hasil sebagai berikut. 5 ∣ ∣ v ∣ ∣ 5 ∣ ∣ v ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ = = = ∣ − 3 a − 4 b + 6 c ∣ 7 59 5 7 59 Dengan demikian, nilai dari ∣ ∣ v ∣ ∣ adalah 5 7 59 . Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Misalnya $v = a i + b j + c k$ .

Perhatikan bahwa $w$ merupakan vektor proyeksi $v$ terhadap $u$ dengan $∣ ∣ w ∣ ∣ = 7$ .

Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut.

$∣ ∣ w ∣ ∣ 777759 = = = = = ∣ ∣ \frac{v \cdot u}{∣ u ∣} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( a i + b j + c k ) \cdot ( - 3 i - 4 j + 6 k )}{( - 3 ) ^{2} + ( - 4 ) ^{2} + 6 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 3 a - 4 b + 6 c}{9 + 16 + 36} ∣ ∣ \frac{∣ - 3 a - 4 b + 6 c ∣}{59} ∣ - 3 a - 4 b + 6 c ∣ ... (1)$

Kemudian, perhatikan bahwa $z$ merupakan vektor proyeksi $u$ terhadap $v$ dengan $∣ ∣ z ∣ ∣ = 5$ .

Akibatnya, diperoleh perhitungan sebagai berikut.

$∣ ∣ z ∣ ∣ 555 5 ∣ ∣ v ∣ ∣ = = = = = ∣ ∣ \frac{u \cdot v}{∣ v ∣} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( - 3 i - 4 j + 6 k ) \cdot ( a i + b j + c k )}{∣ v ∣} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 3 a - 4 b + 6 c}{∣ v ∣} ∣ ∣ \frac{∣ - 3 a - 4 b + 6 c ∣}{∣ v ∣} ∣ - 3 a - 4 b + 6 c ∣ ... (2)$