Pertanyaan

Diberikan titik A dan B pada lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 dengan garis singgung lingkaran pada titik A dan B berpotongan di titik C ( 8 , 1 ) . Jika luas segi empat yang melalui A, B, C, dan titik pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka salah satu nilai k yang memenuhi adalah ....

Diberikan titik A dan B pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0$ dengan garis singgung lingkaran pada titik A dan B berpotongan di titik $C (8, 1)$ . Jika luas segi empat yang melalui A, B, C, dan titik pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka salah satu nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

S. Suharni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepatadalah C.

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini! Misal titik P adalah pusat lingkaran sehingga didapat koordinat titik P adalah sebagai berikut. Kemudian, didapat panjang jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut. Diketahui koordinat dan sehingga panjang PC dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dapat diperhatikan bahwa dan segitiga PAC merupakan segitiga siku-siku karena garis AC bersinggungan dengan lingkaran. Dengan demikian, berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut. Karena panjang AC tidak mungkin negatif, maka satuan panjang. Dapat diperhatikan bahwa segiempat ACBP merupakan bangun layang-layang sehingga luas bangun ACBP sama dengan kali segitiga PAC. Oleh karena itu, diperoleh hasil berikut ini. Pembuat nolnya adalah atau . Karena panjang jari-jari tidak bernilai negatif, maka atau . Kedua nilai ini yang kemudian akan disubstitusi ke dalam persamaan (1), yaitu . Untuk didapat hasil sebagai berikut. Untuk didapat hasil sebagai berikut. Berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia, diambil nilai sebagai jawabannya. Jadi, jawaban yang tepatadalah C.

Perhatikan gambar berikut ini!

Misal titik P adalah pusat lingkaran sehingga didapat koordinat titik P adalah sebagai berikut.

Kemudian, didapat panjang jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut.

Diketahui koordinat dan sehingga panjang PC dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row PC equals cell square root of left parenthesis 8 minus 3 right parenthesis squared plus left parenthesis 1 minus 1 right parenthesis squared end root end cell row blank equals cell square root of 5 squared plus 0 squared end root end cell row blank equals cell square root of 25 end cell row blank equals 5 end table

Dapat diperhatikan bahwa dan segitiga PAC merupakan segitiga siku-siku karena garis AC bersinggungan dengan lingkaran. Dengan demikian, berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.

Karena panjang AC tidak mungkin negatif, maka satuan panjang.

Dapat diperhatikan bahwa segiempat ACBP merupakan bangun layang-layang sehingga luas bangun ACBP sama dengan kali segitiga PAC. Oleh karena itu, diperoleh hasil berikut ini.

Pembuat nolnya adalah atau . Karena panjang jari-jari tidak bernilai negatif, maka atau .

Kedua nilai ini yang kemudian akan disubstitusi ke dalam persamaan (1), yaitu .

Untuk didapat hasil sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 squared end cell equals cell 10 minus k end cell row 9 equals cell 10 minus k end cell row k equals 1 end table end style

Untuk didapat hasil sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 squared end cell equals cell 10 minus k end cell row 16 equals cell 10 minus k end cell row k equals cell negative 6 end cell end table end style

Berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia, diambil nilai sebagai jawabannya.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.