Diberikan A = { − 1 , 0 , 1 } dan relasi R : A → A . Diketahui beberapa hal sebagai berikut. − 1 dan 1 masing-masing berelasi dengan dua anggota yang sama, ( − x , x ) ∈ R dan ( x , − x ) ∈ R untuk setiap x ∈ A , ( x , 0 )  ∈ R untuk x = 1 dan x = − 1 , 0 berelasi dengan satu anggota saja, dan jumlah anggota dari R adalah 5. Relasi tersebut adalah relasi ....

Pembahasan

Dari soal, diberikan dan relasi . Sebelum menentukan sifat dari relasi tersebut, terlebih dahulu akan dicari relasi yang akan terbentuk. Perhatikan analisis berikut ini! Dari pernyataan (2), diketahui dan untuk setiap . Maka didapat jika , maka dan adalah anggota . jika , maka dan adalah anggota . jika , maka adalah anggota . Sehingga didapat kesimpulan bahwa ... (i) Selanjutnya, perhatikan pernyataan (3). Diketahui untuk dan . Artinya, didapat kesimpulan dan ... (ii) Kemudian, pernyataan (1) menyatakan bahwa dan masing-masing berelasi dengan dua anggota yang sama. Dari (i) , diketahui bahwa , yang mengartikan bahwa berelasi dengan . Maka, kemungkinan anggota lain yang dapat berelasi adalah dan itu sendiri. Namun,dari (ii) , diketahui . Artinya dicoret dari kemungkinan barusan. Sehingga tersisa kemungkinan bahwa berelasi dengan . Ditarik kesimpulan bahwa . Dan dengan cara yang serupa, didapat . Didapat kesimpulan dan ... (iii) Dari seluruh kesimpulan (i), (ii), dan (iii), didapat . Lalu, karena pernyataan (5) menyatakan bahwa jumlah anggota dari adalah 5 dan pernyataan (4) menyatakan bahwa berelasi dengan satu anggota saja, maka diperoleh . Selanjutnya akan diperiksa sifat dari , dimulai dari sifat refleksifnya terlebih dahulu. Perhatikan bahwa seluruh anggota berelasi dengan dirinya sendiri, yaitu . Sehingga memenuhi syarat relasi refleksif. Maka refleksif . Lalu, akan diperiksa sifat simetris dari . Perhatikan bahwa dan . Sehingga memenuhi syarat relasi simetris. Maka simetris . Kemudian, akan diperiksa sifat transitif dari . Didapat hasil sebagai berikut. Dimisalkan dan . Perhatikan bahwa . Dimisalkan dan . Perhatikan bahwa . Dimisalkan dan . Perhatikan bahwa . Dimisalkan dan . Perhatikan bahwa . Untuk anggota yang berelasi dengan dirinya sendiri, pasti memenuhi syarat relasi transitif. Sehingga memenuhi syarat relasi transitif. Maka transitif . Karena memenuhi refleksif, simetris, dan transitif, maka ekuivalen . Jadi, jawabannya adalah E.