Pertanyaan

Dengan menggunakan teorema rasional nol, tulislah semuaakar yang mungkin darisetiap persamaan sukubanyak berikut. a. x 3 − 2 x 2 − 9 x + 18

Dengan menggunakan teorema rasional nol, tulislah semua akar yang mungkin dari setiap persamaan suku banyak berikut.

a. $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

akar-akar rasional yang mungkin dari polinomial adalah dan .

akar-akar rasional yang mungkin dari polinomial begin mathsize 14px style x cubed minus 2 x squared minus 9 x plus 18 end style

adalah

begin mathsize 14px style negative 3 comma space 2 comma end style

dan

Pembahasan

Jika fungsi polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk di mana adalah faktor konstanta dan adalah faktor dari koefisien utama. Perhatikan polinomial .Koefisien utamanya dan konstanta . Maka dan Misalkan dipilih dan sehingga . Kita akan lakukan pembagian polinomial dengan menggunakan metode Horner. Karena sisa pembagiannya sama dengan nol, maka adalah salah satu akar rasional dari polinomial . Untuk menentukan akar rasional lainnya, maka haruslah hasil pembagiannya sama dengan nol, yaitu sehingga diperoleh Dengan demikian, akar-akar rasional yang mungkin dari polinomial adalah dan .

Jika fungsi polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk begin mathsize 14px style p over q end style di mana begin mathsize 14px style p end style adalah faktor konstanta dan size 14px q adalah faktor dari koefisien utama.

Perhatikan polinomial begin mathsize 14px style x cubed minus 2 x squared minus 9 x plus 18 end style . Koefisien utamanya dan konstanta . Maka

begin mathsize 14px style p equals plus-or-minus 1 comma space plus-or-minus 2 comma space plus-or-minus 3 comma space plus-or-minus 6 comma space plus-or-minus 9 comma space plus-or-minus 18 end style

dan

begin mathsize 14px style q equals plus-or-minus 1 end style

Misalkan dipilih begin mathsize 14px style p equals 2 end style dan begin mathsize 14px style q equals 1 end style sehingga begin mathsize 14px style p over q equals 2 end style .

Kita akan lakukan pembagian polinomial begin mathsize 14px style x cubed minus 2 x squared minus 9 x plus 18 end style dengan begin mathsize 14px style x equals 2 end style menggunakan metode Horner.

Karena sisa pembagiannya sama dengan nol, maka begin mathsize 14px style x equals 2 end style adalah salah satu akar rasional dari polinomial begin mathsize 14px style x cubed minus 2 x squared minus 9 x plus 18 end style .

Untuk menentukan akar rasional lainnya, maka haruslah hasil pembagiannya sama dengan nol, yaitu

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared minus 9 end cell equals 0 row cell open parentheses x plus 3 close parentheses open parentheses x minus 3 close parentheses end cell equals 0 end table end style

sehingga diperoleh

begin mathsize 14px style table row cell x plus 3 equals 0 end cell atau cell x minus 3 equals 0 end cell row cell x equals negative 3 end cell blank cell x equals 3 end cell end table end style

Dengan demikian, akar-akar rasional yang mungkin dari polinomial begin mathsize 14px style x cubed minus 2 x squared minus 9 x plus 18 end style adalah begin mathsize 14px style negative 3 comma space 2 comma end style dan begin mathsize 14px style 3 end style .