Iklan

Pertanyaan

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 ​ OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor OB , AB , dan AM , dalam a dan c . Buktikan a ⋅ c = 2 1 ​ c 2 , OB ⋅ AB = 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] Diberikan sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang OC adalah 2 cm , hitung panjang OA .

Dalam trapesium OABC,  dan  adalah sisi-sisi sejajar, dan . Adapun M adalah titik tengah sisi , dan sudut OMA adalah tegak lurus  dan .

  1. Nyatakan vektor-vektor , dan , dalam  dan .
  2. Buktikan ,
  3. Diberikan sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang  adalah , hitung panjang .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

00

:

20

:

35

:

55

Iklan

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ilustrasi: Ingat bahwa pada operasi dot product terdapat sifat yang menyatakan bahwa hasil dot product dua vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut. a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 Terdapat juga sifat distributif dari operasi dot product sebagaimana berikut: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c Poin a: Berdasarkan konsep penjumlahan vektor metode segitiga, vektor OB pada segitiga OCB dapat diperoleh dari penjumlahan vektor OC dan CB . Diketahui bahwa CB = 3 2 ​ OA , maka: OB ​ = = = ​ OC + CB OC + 3 2 ​ OA c + 3 2 ​ a ​ Dari segitiga AOB, vektor AB dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor AO dan OB . Sehingga, AB ​ = = = = = ​ AO + OB − OA + OB − a + ( c + 3 2 ​ a ) − 3 3 ​ a + 3 2 ​ a + c − 3 1 ​ a + c ​ Diketahui bahwa OM = 2 1 ​ OC . Dari segitiga AOM, vektor AM dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor AO dan OB . Sehingga, AM ​ = = = ​ AO + OM − OA + 2 1 ​ OC − a + 2 1 ​ c ​ Dengan demikian,vektor-vektor OB , AB , dan AM jika dinyatakan dalam a dan c , yaitu: OB = c + 3 2 ​ a , AB = − 3 1 ​ a + c , dan AM = − a + 2 1 ​ c . Poin b: Untuk membuktikan persamaan a ⋅ c = 2 1 ​ c 2 benar, dapat dilakukan dengan membentuk persamaan yang dimaksud melalui persamaan yang sudah pasti benar. Pada soal, disebutkan bahwa sudut OMA tegak lurus. Sehingga hasil operasi dot product dari vektor AM dan OC sudah pasti bernilai nol. AM ⋅ OC ( − a + 2 1 ​ c ) ⋅ c − a ⋅ c + 2 1 ​ c ⋅ c 2 1 ​ c 2 a ⋅ c ​ = = = = = ​ 0 0 0 a ⋅ c 2 1 ​ c 2 ​ Karena persamaan a ⋅ c = 2 1 ​ c 2 didapatkan dari persamaan yang dapat dipastikan benar, maka terbukti bahwa a ⋅ c = 2 1 ​ c 2 . Dengan demikian, terbukti bahwa a ⋅ c = 2 1 ​ c 2 . Poin c: Asumsikan yang ditanyakan pada poin c adalah membuktikan persamaan yang diberikan. Untuk membuktikan persamaan OB ⋅ AB = 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] benar, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa hasil dari OB ⋅ AB dapat diubah bentuknya menjadi 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . OB ⋅ AB ​ = = = = = = = = = = ​ ( c + 3 2 ​ a ) ⋅ ( c − 3 1 ​ a ) c ⋅ c − 3 1 ​ a ⋅ c + 3 2 ​ a ⋅ c − 3 1 ​ a ⋅ 3 2 ​ a ∣ c ∣ 2 + 3 1 ​ a ⋅ c − 9 2 ​ a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 3 1 ​ ( 2 1 ​ c 2 ) − 9 2 ​ ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 6 1 ​ c ⋅ c − 9 2 ​ ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 6 1 ​ ∣ c ∣ 2 − 9 2 ​ ∣ a ∣ 2 18 18 ∣ c ∣ 2 + 3 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ a ∣ 2 ​ 18 21 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ a ∣ 2 ​ 18 1 ​ [ 21 ∣ ∣ ​ OC ∣ ∣ ​ 2 − 4 ∣ ∣ ​ O A ∣ ∣ ​ 2 ] 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( O A ) 2 ] ​ Berdasarkan perhitungan di atas, dapat ditunjuukan bahwa hasil dari OB ⋅ AB dapat diubah bentuknya menjadi 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . Dengan demikian, terbukti bahwa OB ⋅ AB = 18 1 ​ [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . Poin d: Pada bagian ini, diberikan informasi tambahan bahwa sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang OC adalah 2 cm . Karena sudut OAB siku-siku, makahasil operasi dot product dari vektor OA dan AB adalah nol. OA ⋅ AB a ⋅ ( c − 3 1 ​ a ) a ⋅ c − 3 1 ​ a ⋅ a 2 1 ​ c 2 − 3 1 ​ ∣ a ∣ 2 2 1 ​ c ⋅ c − 3 1 ​ ∣ a ∣ 2 2 1 ​ ∣ c ∣ 2 − 3 1 ​ ∣ a ∣ 2 2 1 ​ ∣ ∣ ​ OC ∣ ∣ ​ 2 − 3 1 ​ ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 2 1 ​ ( 2 ) 2 − 3 1 ​ ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 2 4 ​ 3 1 ​ ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ ​ = = = = = = = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 ​ ∣ ∣ ​ OA ∣ ∣ ​ 2 2 2 × 3 6 6 ​ cm ​ Dengan demikian, panjang OA yaitu 6 ​ cm .

Ilustrasi:

Ingat bahwa pada operasi dot product terdapat sifat yang menyatakan bahwa hasil dot product dua vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut. 

Terdapat juga sifat distributif dari operasi dot product sebagaimana berikut:

Poin a:

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor metode segitiga, vektor  pada segitiga OCB dapat diperoleh dari penjumlahan vektor  dan . Diketahui bahwa , maka:

Dari segitiga AOB, vektor  dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor  dan . Sehingga,

Diketahui bahwa . Dari segitiga AOM, vektor  dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor  dan . Sehingga,

Dengan demikian, vektor-vektor , dan  jika dinyatakan dalam  dan , yaitu: , dan .

 

Poin b:

Untuk membuktikan persamaan  benar, dapat dilakukan dengan membentuk persamaan yang dimaksud melalui persamaan yang sudah pasti benar. Pada soal, disebutkan bahwa sudut OMA tegak lurus. Sehingga hasil operasi dot product dari vektor  dan  sudah pasti bernilai nol.

Karena persamaan  didapatkan dari persamaan yang dapat dipastikan benar, maka terbukti bahwa .

Dengan demikian, terbukti bahwa .

 

Poin c:

Asumsikan yang ditanyakan pada poin c adalah membuktikan persamaan yang diberikan. Untuk membuktikan persamaan  benar, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa hasil dari  dapat diubah bentuknya menjadi .

Berdasarkan perhitungan di atas, dapat ditunjuukan bahwa hasil dari  dapat diubah bentuknya menjadi .

Dengan demikian, terbukti bahwa .

 

Poin d:

Pada bagian ini, diberikan informasi tambahan bahwa sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang  adalah . Karena sudut OAB siku-siku, maka hasil operasi dot product dari vektor  dan  adalah nol.

Dengan demikian, panjang  yaitu .

 

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!