Pertanyaan

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor OB , AB , dan AM , dalam a dan c . Buktikan a ⋅ c = 2 1 c 2 , OB ⋅ AB = 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] Diberikan sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang OC adalah 2 cm , hitung panjang OA .

Dalam trapesium OABC, $OA$ dan $CB$ adalah sisi-sisi sejajar, dan $CB = \frac{2}{3} OA$ . Adapun M adalah titik tengah sisi $OC$ , dan sudut OMA adalah tegak lurus $OA = a$ dan $OC = c$ .

Nyatakan vektor-vektor $OB$ , $AB$ , dan $AM$ , dalam $a$ dan $c$ .
Buktikan $a \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}$ ,
$OB \cdot AB = \frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (OA)^{2}]$
Diberikan sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang $OC$ adalah $2 cm$ , hitung panjang $OA$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ilustrasi: Ingat bahwa pada operasi dot product terdapat sifat yang menyatakan bahwa hasil dot product dua vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut. a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 Terdapat juga sifat distributif dari operasi dot product sebagaimana berikut: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c Poin a: Berdasarkan konsep penjumlahan vektor metode segitiga, vektor OB pada segitiga OCB dapat diperoleh dari penjumlahan vektor OC dan CB . Diketahui bahwa CB = 3 2 OA , maka: OB = = = OC + CB OC + 3 2 OA c + 3 2 a Dari segitiga AOB, vektor AB dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor AO dan OB . Sehingga, AB = = = = = AO + OB − OA + OB − a + ( c + 3 2 a ) − 3 3 a + 3 2 a + c − 3 1 a + c Diketahui bahwa OM = 2 1 OC . Dari segitiga AOM, vektor AM dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor AO dan OB . Sehingga, AM = = = AO + OM − OA + 2 1 OC − a + 2 1 c Dengan demikian,vektor-vektor OB , AB , dan AM jika dinyatakan dalam a dan c , yaitu: OB = c + 3 2 a , AB = − 3 1 a + c , dan AM = − a + 2 1 c . Poin b: Untuk membuktikan persamaan a ⋅ c = 2 1 c 2 benar, dapat dilakukan dengan membentuk persamaan yang dimaksud melalui persamaan yang sudah pasti benar. Pada soal, disebutkan bahwa sudut OMA tegak lurus. Sehingga hasil operasi dot product dari vektor AM dan OC sudah pasti bernilai nol. AM ⋅ OC ( − a + 2 1 c ) ⋅ c − a ⋅ c + 2 1 c ⋅ c 2 1 c 2 a ⋅ c = = = = = 0 0 0 a ⋅ c 2 1 c 2 Karena persamaan a ⋅ c = 2 1 c 2 didapatkan dari persamaan yang dapat dipastikan benar, maka terbukti bahwa a ⋅ c = 2 1 c 2 . Dengan demikian, terbukti bahwa a ⋅ c = 2 1 c 2 . Poin c: Asumsikan yang ditanyakan pada poin c adalah membuktikan persamaan yang diberikan. Untuk membuktikan persamaan OB ⋅ AB = 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] benar, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa hasil dari OB ⋅ AB dapat diubah bentuknya menjadi 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . OB ⋅ AB = = = = = = = = = = ( c + 3 2 a ) ⋅ ( c − 3 1 a ) c ⋅ c − 3 1 a ⋅ c + 3 2 a ⋅ c − 3 1 a ⋅ 3 2 a ∣ c ∣ 2 + 3 1 a ⋅ c − 9 2 a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 3 1 ( 2 1 c 2 ) − 9 2 ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 6 1 c ⋅ c − 9 2 ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 6 1 ∣ c ∣ 2 − 9 2 ∣ a ∣ 2 18 18 ∣ c ∣ 2 + 3 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ a ∣ 2 18 21 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ a ∣ 2 18 1 [ 21 ∣ ∣ OC ∣ ∣ 2 − 4 ∣ ∣ O A ∣ ∣ 2 ] 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( O A ) 2 ] Berdasarkan perhitungan di atas, dapat ditunjuukan bahwa hasil dari OB ⋅ AB dapat diubah bentuknya menjadi 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . Dengan demikian, terbukti bahwa OB ⋅ AB = 18 1 [ 21 ( OC ) 2 − 4 ( OA ) 2 ] . Poin d: Pada bagian ini, diberikan informasi tambahan bahwa sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang OC adalah 2 cm . Karena sudut OAB siku-siku, makahasil operasi dot product dari vektor OA dan AB adalah nol. OA ⋅ AB a ⋅ ( c − 3 1 a ) a ⋅ c − 3 1 a ⋅ a 2 1 c 2 − 3 1 ∣ a ∣ 2 2 1 c ⋅ c − 3 1 ∣ a ∣ 2 2 1 ∣ c ∣ 2 − 3 1 ∣ a ∣ 2 2 1 ∣ ∣ OC ∣ ∣ 2 − 3 1 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 2 1 ( 2 ) 2 − 3 1 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 2 4 3 1 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OA ∣ ∣ = = = = = = = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 ∣ ∣ OA ∣ ∣ 2 2 2 × 3 6 6 cm Dengan demikian, panjang OA yaitu 6 cm .

Ilustrasi:

Ingat bahwa pada operasi dot product terdapat sifat yang menyatakan bahwa hasil dot product dua vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.

$a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$

Terdapat juga sifat distributif dari operasi dot product sebagaimana berikut:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Poin a:

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor metode segitiga, vektor $OB$ pada segitiga OCB dapat diperoleh dari penjumlahan vektor $OC$ dan $CB$ . Diketahui bahwa $CB = \frac{2}{3} OA$ , maka:

$OB = = = OC + CB OC + \frac{2}{3} OA c + \frac{2}{3} a$

Dari segitiga AOB, vektor $AB$ dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor $AO$ dan $OB$ . Sehingga,

$AB = = = = = AO + OB - OA + OB - a + (c + \frac{2}{3} a) - \frac{3}{3} a + \frac{2}{3} a + c - \frac{1}{3} a + c$

Diketahui bahwa $OM = \frac{1}{2} OC$ . Dari segitiga AOM, vektor $AM$ dapat diperoleh dari penjumlahan antara vektor $AO$ dan $OB$ . Sehingga,

$AM = = = AO + OM - OA + \frac{1}{2} OC - a + \frac{1}{2} c$

Dengan demikian, vektor-vektor $OB$ , $AB$ , dan $AM$ jika dinyatakan dalam $a$ dan $c$ , yaitu: $OB = c + \frac{2}{3} a$ , $AB = - \frac{1}{3} a + c$ , dan $AM = - a + \frac{1}{2} c$ .

Poin b:

Untuk membuktikan persamaan $a \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}$ benar, dapat dilakukan dengan membentuk persamaan yang dimaksud melalui persamaan yang sudah pasti benar. Pada soal, disebutkan bahwa sudut OMA tegak lurus. Sehingga hasil operasi dot product dari vektor $AM$ dan $OC$ sudah pasti bernilai nol.

$AM \cdot OC (- a + \frac{1}{2} c) \cdot c - a \cdot c + \frac{1}{2} c \cdot c \frac{1}{2} c^{2} a \cdot c = = = = = 000 a \cdot c \frac{1}{2} c^{2}$

Karena persamaan $a \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}$ didapatkan dari persamaan yang dapat dipastikan benar, maka terbukti bahwa $a \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}$ .

Dengan demikian, terbukti bahwa $a \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}$ .

Poin c:

Asumsikan yang ditanyakan pada poin c adalah membuktikan persamaan yang diberikan. Untuk membuktikan persamaan $OB \cdot AB = \frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (OA)^{2}]$ benar, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa hasil dari $OB \cdot AB$ dapat diubah bentuknya menjadi $\frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (OA)^{2}]$ .

$OB \cdot AB = = = = = = = = = = (c + \frac{2}{3} a) \cdot (c - \frac{1}{3} a) c \cdot c - \frac{1}{3} a \cdot c + \frac{2}{3} a \cdot c - \frac{1}{3} a \cdot \frac{2}{3} a ∣ c ∣^{2} + \frac{1}{3} a \cdot c - \frac{2}{9} a \cdot a ∣ c ∣^{2} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} c^{2}) - \frac{2}{9} ∣ a ∣^{2} ∣ c ∣^{2} + \frac{1}{6} c \cdot c - \frac{2}{9} ∣ a ∣^{2} ∣ c ∣^{2} + \frac{1}{6} ∣ c ∣^{2} - \frac{2}{9} ∣ a ∣^{2} \frac{18 ∣ c ∣ ^{2} + 3 ∣ c ∣ ^{2} - 4 ∣ a ∣ ^{2}}{18} \frac{21 ∣ c ∣ ^{2} - 4 ∣ a ∣ ^{2}}{18} \frac{1}{18} [21 ∣ ∣ OC ∣ ∣^{2} - 4 ∣ ∣ O A ∣ ∣^{2}] \frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (O A)^{2}]$

Berdasarkan perhitungan di atas, dapat ditunjuukan bahwa hasil dari $OB \cdot AB$ dapat diubah bentuknya menjadi $\frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (OA)^{2}]$ .

Dengan demikian, terbukti bahwa $OB \cdot AB = \frac{1}{18} [21 (OC)^{2} - 4 (OA)^{2}]$ .

Poin d:

Pada bagian ini, diberikan informasi tambahan bahwa sudut OAB adalah siku-siku dan bahwa panjang $OC$ adalah $2 cm$ . Karena sudut OAB siku-siku, maka hasil operasi dot product dari vektor $OA$ dan $AB$ adalah nol.

$OA \cdot AB a \cdot (c - \frac{1}{3} a) a \cdot c - \frac{1}{3} a \cdot a \frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{3} ∣ a ∣^{2} \frac{1}{2} c \cdot c - \frac{1}{3} ∣ a ∣^{2} \frac{1}{2} ∣ c ∣^{2} - \frac{1}{3} ∣ a ∣^{2} \frac{1}{2} ∣ ∣ OC ∣ ∣^{2} - \frac{1}{3} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} \frac{1}{2} (2)^{2} - \frac{1}{3} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} \frac{4}{2} \frac{1}{3} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OA ∣ ∣ = = = = = = = = = = = = = 00000000 \frac{1}{3} ∣ ∣ OA ∣ ∣^{2} 2 2 \times 3 6 6 cm$

Dengan demikian, panjang $OA$ yaitu $6 cm$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣...

5.0

Jawaban terverifikasi

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Buktikan bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2...

112

0.0

Jawaban terverifikasi

112

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣...

5.0

Jawaban terverifikasi

Vektor a ,vektor b dan vektor c adalah tiga buah vektor yang saling tegak lurus. Panjang vektror a adalah ∣ ∣ a ∣ ∣ = 2 satuan , panjang vektor b adalah ∣ ∣ b ∣ ∣ = 3 satuan ,danpanjang vektor...

5.0

Jawaban terverifikasi