Iklan

Pertanyaan

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D ​ = 2 1 ​ , OA = a dan OC = c . Buktikan bahwa 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada  sehingga  dan .

  1. Buktikan bahwa .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

00

:

15

:

46

:

54

Iklan

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

terbukti bahwa .

Pembahasan

Ilustrasi: Untuk dapat membuktikan persamaan pada soal, hal yang perlu dilakukan adalah memanipulasi salah satu sisi persamaan sedemikian sehingga dapat membentuk sisi lain dari persamaan tersebut. Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] dapat diubah bentuknya menjadi 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) . Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, suatu vektor AC pada segitiga ABC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AB dan BC . Sehingga vektor AC pada segitiga AOC dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: AC ​ = = = ​ AO + OC − OA + OC − a + c ​ Diketahui bahwa D B C D ​ = 2 1 ​ , sehingga DB = 2 CD .Karena CB = OA = a , dan CD + DB = CB , maka: CD + 2 CD 3 C D C D ​ = = = ​ a a 3 1 ​ a ​ Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: OD ​ = = ​ OC + CD c + 3 1 ​ a ​ Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwadot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut. ∣ a ∣ 2 = a ⋅ a Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product: a ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b Sehingga, ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 ​ = = = = = ​ AC ⋅ AC ( − a + c ) ⋅ ( − a + c ) ( − a ) ⋅ ( − a ) − 2 a ⋅ c + c ⋅ c a ⋅ a − 2 a ⋅ c + c ⋅ c ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ​ ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ​ = = = = ​ OD ⋅ OD ( c + 3 1 ​ a ) ⋅ ( c + 3 1 ​ a ) c ⋅ c + 3 2 ​ a ⋅ c + 9 1 ​ a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 2 a ⋅ c + 9 1 ​ ∣ a ∣ 2 ​ Bentuk 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] dapat diubah sebagaimana berikut: 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] = 9 [ ( ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ) − ( ∣ c ∣ 2 + 3 2 ​ a ⋅ c + 9 1 ​ ∣ a ∣ 2 ) ] = 9 [ ∣ a ∣ 2 − 9 1 ​ ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c − 3 2 ​ a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ​ − ∣ c ∣ 2 ​ ] = 9 [ 9 9 ∣ a ∣ 2 − ∣ a ∣ 2 ​ + 9 − 18 a ⋅ c − 6 a ⋅ c ​ ] = 9 ​ [ 9 ​ 8 ​ ∣ a ∣ 2 − 9 ​ 24 ​ a ⋅ c ] = 8 ∣ a ∣ 2 − 24 a ⋅ c = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) Dengan demikian, terbukti bahwa 9 [ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 − ∣ ∣ ​ OD ∣ ∣ ​ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

Ilustrasi:

Untuk dapat membuktikan persamaan pada soal, hal yang perlu dilakukan adalah memanipulasi salah satu sisi persamaan sedemikian sehingga dapat membentuk sisi lain dari persamaan tersebut. Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa  dapat diubah bentuknya menjadi .

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, suatu vektor  pada segitiga ABC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu  dan . Sehingga vektor  pada segitiga AOC dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

Diketahui bahwa , sehingga . Karena , dan , maka:

Vektor  pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwa dot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.

Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:

Sehingga,

Bentuk  dapat diubah sebagaimana berikut:

Dengan demikian, terbukti bahwa .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

112

Iklan

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!