Pertanyaan

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Buktikan bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada $BC$ sehingga $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , $OA = a$ dan $OC = c$ .

Buktikan bahwa $9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}] = 8 (∣ a ∣^{2} - 3 a \cdot c)$ .

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

terbukti bahwa

9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}] = 8 (∣ a ∣^{2} - 3 a \cdot c)

Pembahasan

Ilustrasi: Untuk dapat membuktikan persamaan pada soal, hal yang perlu dilakukan adalah memanipulasi salah satu sisi persamaan sedemikian sehingga dapat membentuk sisi lain dari persamaan tersebut. Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] dapat diubah bentuknya menjadi 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) . Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, suatu vektor AC pada segitiga ABC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AB dan BC . Sehingga vektor AC pada segitiga AOC dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: AC = = = AO + OC − OA + OC − a + c Diketahui bahwa D B C D = 2 1 , sehingga DB = 2 CD .Karena CB = OA = a , dan CD + DB = CB , maka: CD + 2 CD 3 C D C D = = = a a 3 1 a Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: OD = = OC + CD c + 3 1 a Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwadot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut. ∣ a ∣ 2 = a ⋅ a Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product: a ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b Sehingga, ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 = = = = = AC ⋅ AC ( − a + c ) ⋅ ( − a + c ) ( − a ) ⋅ ( − a ) − 2 a ⋅ c + c ⋅ c a ⋅ a − 2 a ⋅ c + c ⋅ c ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 = = = = OD ⋅ OD ( c + 3 1 a ) ⋅ ( c + 3 1 a ) c ⋅ c + 3 2 a ⋅ c + 9 1 a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 Bentuk 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] dapat diubah sebagaimana berikut: 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 9 [ ( ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ) − ( ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 ) ] = 9 [ ∣ a ∣ 2 − 9 1 ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c − 3 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 − ∣ c ∣ 2 ] = 9 [ 9 9 ∣ a ∣ 2 − ∣ a ∣ 2 + 9 − 18 a ⋅ c − 6 a ⋅ c ] = 9 [ 9 8 ∣ a ∣ 2 − 9 24 a ⋅ c ] = 8 ∣ a ∣ 2 − 24 a ⋅ c = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) Dengan demikian, terbukti bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2 − 3 a ⋅ c ) .

Ilustrasi:

Untuk dapat membuktikan persamaan pada soal, hal yang perlu dilakukan adalah memanipulasi salah satu sisi persamaan sedemikian sehingga dapat membentuk sisi lain dari persamaan tersebut. Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa $9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}]$ dapat diubah bentuknya menjadi $8 (∣ a ∣^{2} - 3 a \cdot c)$ .

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, suatu vektor $AC$ pada segitiga ABC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu $AB$ dan $BC$ . Sehingga vektor $AC$ pada segitiga AOC dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$AC = = = AO + OC - OA + OC - a + c$

Diketahui bahwa $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , sehingga $DB = 2 CD$ . Karena $CB = OA = a$ , dan $CD + DB = CB$ , maka:

$CD + 2 CD 3 C D C D = = = a a \frac{1}{3} a$

Vektor $OD$ pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$OD = = OC + CD c + \frac{1}{3} a$

Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwa dot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.

$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$

Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:

$a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b$

Sehingga,

$∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} = = = = = AC \cdot AC (- a + c) \cdot (- a + c) (- a) \cdot (- a) - 2 a \cdot c + c \cdot c a \cdot a - 2 a \cdot c + c \cdot c ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2}$

$∣ ∣ OD ∣ ∣^{2} = = = = OD \cdot OD (c + \frac{1}{3} a) \cdot (c + \frac{1}{3} a) c \cdot c + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} a \cdot a ∣ c ∣^{2} + 2 a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2}$

Bentuk $9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}]$ dapat diubah sebagaimana berikut:

$9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}] = 9 [(∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2}) - (∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2})] = 9 [∣ a ∣^{2} - \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c - \frac{2}{3} a \cdot c + ∣ c ∣^{2} - ∣ c ∣^{2}] = 9 [\frac{9 ∣ a ∣ ^{2} - ∣ a ∣ ^{2}}{9} + \frac{- 18 a \cdot c - 6 a \cdot c}{9}] = 9 [\frac{8}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{24}{9} a \cdot c] = 8 ∣ a ∣^{2} - 24 a \cdot c = 8 (∣ a ∣^{2} - 3 a \cdot c)$

Dengan demikian, terbukti bahwa $9 [∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ OD ∣ ∣^{2}] = 8 (∣ a ∣^{2} - 3 a \cdot c)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

112

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣...

5.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika vektor v dan vektor u membentuk sudut 6 0 ∘ , dimana u = 4 dan v = 2 maka u ( v + u ) = ....

4.9

Jawaban terverifikasi