Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c .
Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .
Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga DBCD=21, OA=a dan OC=c.
Dengan mempertimbangkan nilai ∣∣AD∣∣2, buktikan bahwa jika ∣∣AC∣∣=∣∣OD∣∣, maka ∣∣AD∣∣=∣∣OC∣∣.
terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .
terbukti bahwa jika ∣∣AC∣∣=∣∣OD∣∣, maka ∣∣AD∣∣=∣∣OC∣∣.
Pembahasan
Ilustrasi:
Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang ∣ ∣ AD ∣ ∣ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang ∣ ∣ OC ∣ ∣ untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ .
Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor AC pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AO dan OC . Sehingga,
AC = = = AO + OC − OA + OC − a + c
Diketahui bahwa D B C D = 2 1 , sehingga DB = 2 CD .Karena CB = OA = a , dan CD + DB = CB , maka:
CD + DB CD + 2 CD 3 CD CD = = = = CB a a 3 1 a
Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:
OD = = OC + CD c + 3 1 a
Vektor AD pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:
A D = = = = = A O + O D − O A + O D − a + ( c + 3 1 a ) − 3 3 a + 3 1 a + c − 3 2 a + c
Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwadot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.
∣ a ∣ 2 = a ⋅ a
Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product:
a ⋅ b = b ⋅ a
Sehingga,
∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = AC ⋅ AC ( − a + c ) ⋅ ( − a + c ) ( − a ) ⋅ ( − a ) − 2 a ⋅ c + c ⋅ c a ⋅ a − 2 a ⋅ c + c ⋅ c ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2
∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ = = = = OD ⋅ OD ( c + 3 1 a ) ⋅ ( c + 3 1 a ) c ⋅ c + 3 2 a ⋅ c + 9 1 a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2
Untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka:
∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 9 1 ∣ a ∣ 2 9 9 ∣ a ∣ 2 − ∣ a ∣ 2 8 ∣ a ∣ 2 8 a ⋅ a a ⋅ a a = = = = = = = = = = = ∣ ∣ OD ∣ ∣ ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 3 2 a ⋅ c + 2 a ⋅ c 9 6 a ⋅ c + 18 a ⋅ c 24 a ⋅ c 24 a ⋅ c 8 24 a ⋅ c 3 a ⋅ c 3 c ⋅ a 3 c
Sedangkannilai dari ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , yaitu:
∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 = = = = = AD ⋅ AD ( − 3 2 a + c ) ⋅ ( − 3 2 a + c ) ( − 3 2 a ) ⋅ ( − 3 2 a ) − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 a ⋅ a − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2
Substitusi a = 3 c pada nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 :
∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AD ∣ ∣ = = = = = = = 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 ∣ 3 c ∣ 2 − 3 4 ( 3 c ) ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 × 9 ∣ c ∣ 2 − 4 c ⋅ c + ∣ c ∣ 2 4 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ c ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣
Dengan demikian, terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .
Ilustrasi:
Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang ∣∣AD∣∣ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang ∣∣OC∣∣ untuk ∣∣AC∣∣=∣∣OD∣∣.
Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor AC pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AO dan OC. Sehingga,
AC===AO+OC−OA+OC−a+c
Diketahui bahwa DBCD=21, sehingga DB=2CD. Karena CB=OA=a, dan CD+DB=CB, maka:
CD+DBCD+2CD3CDCD====CBaa31a
Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:
OD==OC+CDc+31a
Vektor AD pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:
Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwa dot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.
∣a∣2=a⋅a
Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product: