Pertanyaan

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada $BC$ sehingga $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , $OA = a$ dan $OC = c$ .

Dengan mempertimbangkan nilai $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ , buktikan bahwa jika $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka $∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

terbukti bahwa jika

∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣

, maka

∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣

Pembahasan

Ilustrasi: Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang ∣ ∣ AD ∣ ∣ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang ∣ ∣ OC ∣ ∣ untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ . Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor AC pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AO dan OC . Sehingga, AC = = = AO + OC − OA + OC − a + c Diketahui bahwa D B C D = 2 1 , sehingga DB = 2 CD .Karena CB = OA = a , dan CD + DB = CB , maka: CD + DB CD + 2 CD 3 CD CD = = = = CB a a 3 1 a Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: OD = = OC + CD c + 3 1 a Vektor AD pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: A D = = = = = A O + O D − O A + O D − a + ( c + 3 1 a ) − 3 3 a + 3 1 a + c − 3 2 a + c Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwadot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut. ∣ a ∣ 2 = a ⋅ a Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product: a ⋅ b = b ⋅ a Sehingga, ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = AC ⋅ AC ( − a + c ) ⋅ ( − a + c ) ( − a ) ⋅ ( − a ) − 2 a ⋅ c + c ⋅ c a ⋅ a − 2 a ⋅ c + c ⋅ c ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ = = = = OD ⋅ OD ( c + 3 1 a ) ⋅ ( c + 3 1 a ) c ⋅ c + 3 2 a ⋅ c + 9 1 a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 Untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka: ∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 9 1 ∣ a ∣ 2 9 9 ∣ a ∣ 2 − ∣ a ∣ 2 8 ∣ a ∣ 2 8 a ⋅ a a ⋅ a a = = = = = = = = = = = ∣ ∣ OD ∣ ∣ ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 3 2 a ⋅ c + 2 a ⋅ c 9 6 a ⋅ c + 18 a ⋅ c 24 a ⋅ c 24 a ⋅ c 8 24 a ⋅ c 3 a ⋅ c 3 c ⋅ a 3 c Sedangkannilai dari ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , yaitu: ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 = = = = = AD ⋅ AD ( − 3 2 a + c ) ⋅ ( − 3 2 a + c ) ( − 3 2 a ) ⋅ ( − 3 2 a ) − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 a ⋅ a − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 Substitusi a = 3 c pada nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 : ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AD ∣ ∣ = = = = = = = 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 ∣ 3 c ∣ 2 − 3 4 ( 3 c ) ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 × 9 ∣ c ∣ 2 − 4 c ⋅ c + ∣ c ∣ 2 4 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ c ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣ Dengan demikian, terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

Ilustrasi:

Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang $∣ ∣ AD ∣ ∣$ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang $∣ ∣ OC ∣ ∣$ untuk $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ .

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor $AC$ pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu $AO$ dan $OC$ . Sehingga,

$AC = = = AO + OC - OA + OC - a + c$

Diketahui bahwa $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , sehingga $DB = 2 CD$ . Karena $CB = OA = a$ , dan $CD + DB = CB$ , maka:

$CD + DB CD + 2 CD 3 CD CD = = = = CB a a \frac{1}{3} a$

Vektor $OD$ pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$OD = = OC + CD c + \frac{1}{3} a$

Vektor $AD$ pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$A D = = = = = A O + O D - O A + O D - a + (c + \frac{1}{3} a) - \frac{3}{3} a + \frac{1}{3} a + c - \frac{2}{3} a + c$

Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwa dot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.

$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$

Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product:

$a \cdot b = b \cdot a$

Sehingga,

$∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = AC \cdot AC (- a + c) \cdot (- a + c) (- a) \cdot (- a) - 2 a \cdot c + c \cdot c a \cdot a - 2 a \cdot c + c \cdot c ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2}$

$∣ ∣ OD ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OD ∣ ∣ = = = = OD \cdot OD (c + \frac{1}{3} a) \cdot (c + \frac{1}{3} a) c \cdot c + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} a \cdot a ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2}$

Untuk $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka:

$∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2} ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2} ∣ a ∣^{2} - \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} \frac{9 ∣ a ∣ ^{2} - ∣ a ∣ ^{2}}{9} 8 ∣ a ∣^{2} 8 a \cdot a a \cdot a a = = = = = = = = = = = ∣ ∣ OD ∣ ∣ ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} \frac{2}{3} a \cdot c + 2 a \cdot c \frac{6 a \cdot c + 18 a \cdot c}{9} 24 a \cdot c 24 a \cdot c \frac{24}{8} a \cdot c 3 a \cdot c 3 c \cdot a 3 c$

Sedangkan nilai dari $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ , yaitu:

$∣ ∣ AD ∣ ∣^{2} = = = = = AD \cdot AD (- \frac{2}{3} a + c) \cdot (- \frac{2}{3} a + c) (- \frac{2}{3} a) \cdot (- \frac{2}{3} a) - \frac{4}{3} a \cdot c + c \cdot c \frac{4}{9} a \cdot a - \frac{4}{3} a \cdot c + c \cdot c \frac{4}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{4}{3} a \cdot c + ∣ c ∣^{2}$

Substitusi $a = 3 c$ pada nilai $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ :

$∣ ∣ AD ∣ ∣^{2} ∣ ∣ AD ∣ ∣ = = = = = = = \frac{4}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{4}{3} a \cdot c + ∣ c ∣^{2} \frac{4}{9} ∣ 3 c ∣^{2} - \frac{4}{3} (3 c) \cdot c + ∣ c ∣^{2} \frac{4}{9} \times 9 ∣ c ∣^{2} - 4 c \cdot c + ∣ c ∣^{2} 4 ∣ c ∣^{2} - 4 ∣ c ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} ∣ c ∣^{2} ∣ ∣ OC ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OC ∣ ∣$

Dengan demikian, terbukti bahwa jika $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka $∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Buktikan bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2...

112

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

112

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sudut antara vektor x dan y adalah 30°. Jika x ⋅ x = 6 dan x ⋅ y = 21 , maka

3.5

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS