Pertanyaan

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Dengan mempertimbangkan nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , buktikan bahwa jika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada $BC$ sehingga $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , $OA = a$ dan $OC = c$ .

Dengan mempertimbangkan nilai $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ , buktikan bahwa jika $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka $∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣$ .

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

terbukti bahwa jika

∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣

, maka

∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣

Pembahasan

Ilustrasi: Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang ∣ ∣ AD ∣ ∣ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang ∣ ∣ OC ∣ ∣ untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ . Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor AC pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu AO dan OC . Sehingga, AC = = = AO + OC − OA + OC − a + c Diketahui bahwa D B C D = 2 1 , sehingga DB = 2 CD .Karena CB = OA = a , dan CD + DB = CB , maka: CD + DB CD + 2 CD 3 CD CD = = = = CB a a 3 1 a Vektor OD pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: OD = = OC + CD c + 3 1 a Vektor AD pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut: A D = = = = = A O + O D − O A + O D − a + ( c + 3 1 a ) − 3 3 a + 3 1 a + c − 3 2 a + c Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwadot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut. ∣ a ∣ 2 = a ⋅ a Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product: a ⋅ b = b ⋅ a Sehingga, ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = AC ⋅ AC ( − a + c ) ⋅ ( − a + c ) ( − a ) ⋅ ( − a ) − 2 a ⋅ c + c ⋅ c a ⋅ a − 2 a ⋅ c + c ⋅ c ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OD ∣ ∣ = = = = OD ⋅ OD ( c + 3 1 a ) ⋅ ( c + 3 1 a ) c ⋅ c + 3 2 a ⋅ c + 9 1 a ⋅ a ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 Untuk ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka: ∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 ∣ a ∣ 2 − 9 1 ∣ a ∣ 2 9 9 ∣ a ∣ 2 − ∣ a ∣ 2 8 ∣ a ∣ 2 8 a ⋅ a a ⋅ a a = = = = = = = = = = = ∣ ∣ OD ∣ ∣ ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + 3 2 a ⋅ c + 9 1 ∣ a ∣ 2 3 2 a ⋅ c + 2 a ⋅ c 9 6 a ⋅ c + 18 a ⋅ c 24 a ⋅ c 24 a ⋅ c 8 24 a ⋅ c 3 a ⋅ c 3 c ⋅ a 3 c Sedangkannilai dari ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 , yaitu: ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 = = = = = AD ⋅ AD ( − 3 2 a + c ) ⋅ ( − 3 2 a + c ) ( − 3 2 a ) ⋅ ( − 3 2 a ) − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 a ⋅ a − 3 4 a ⋅ c + c ⋅ c 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 Substitusi a = 3 c pada nilai ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 : ∣ ∣ AD ∣ ∣ 2 ∣ ∣ AD ∣ ∣ = = = = = = = 9 4 ∣ a ∣ 2 − 3 4 a ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 ∣ 3 c ∣ 2 − 3 4 ( 3 c ) ⋅ c + ∣ c ∣ 2 9 4 × 9 ∣ c ∣ 2 − 4 c ⋅ c + ∣ c ∣ 2 4 ∣ c ∣ 2 − 4 ∣ c ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 ∣ c ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣ 2 ∣ ∣ OC ∣ ∣ Dengan demikian, terbukti bahwajika ∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣ , maka ∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣ .

Ilustrasi:

Untuk dapat membuktikan pernyataan pada soal benar, hal yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahwa panjang $∣ ∣ AD ∣ ∣$ jika dimanipulasi sedemikian rupa dapat diperoleh nilai yang sama dengan panjang $∣ ∣ OC ∣ ∣$ untuk $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ .

Berdasarkan konsep penjumlahan vektor dengan metode segitiga, vektor $AC$ pada segitiga AOC dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua vektor lainnya yaitu $AO$ dan $OC$ . Sehingga,

$AC = = = AO + OC - OA + OC - a + c$

Diketahui bahwa $\frac{C D}{D B} = \frac{1}{2}$ , sehingga $DB = 2 CD$ . Karena $CB = OA = a$ , dan $CD + DB = CB$ , maka:

$CD + DB CD + 2 CD 3 CD CD = = = = CB a a \frac{1}{3} a$

Vektor $OD$ pada segitiga OCD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$OD = = OC + CD c + \frac{1}{3} a$

Vektor $AD$ pada segitiga AOD dapat diperoleh dari penjumlahan vektor berikut:

$A D = = = = = A O + O D - O A + O D - a + (c + \frac{1}{3} a) - \frac{3}{3} a + \frac{1}{3} a + c - \frac{2}{3} a + c$

Ingat bahwa terdapat sifat perkalian dot product yang menyatakan bahwa dot product dari dua vektor yang sama, hasilnya sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut.

$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$

Terdapat juga sifat distributif perkalian dot product:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Terdapat juga sifat komutatif perkalian dot product:

$a \cdot b = b \cdot a$

Sehingga,

$∣ ∣ AC ∣ ∣^{2} ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = AC \cdot AC (- a + c) \cdot (- a + c) (- a) \cdot (- a) - 2 a \cdot c + c \cdot c a \cdot a - 2 a \cdot c + c \cdot c ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2}$

$∣ ∣ OD ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OD ∣ ∣ = = = = OD \cdot OD (c + \frac{1}{3} a) \cdot (c + \frac{1}{3} a) c \cdot c + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} a \cdot a ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2}$

Untuk $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka:

$∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2} ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot c + ∣ c ∣^{2} ∣ a ∣^{2} - \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} \frac{9 ∣ a ∣ ^{2} - ∣ a ∣ ^{2}}{9} 8 ∣ a ∣^{2} 8 a \cdot a a \cdot a a = = = = = = = = = = = ∣ ∣ OD ∣ ∣ ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} ∣ c ∣^{2} + \frac{2}{3} a \cdot c + \frac{1}{9} ∣ a ∣^{2} \frac{2}{3} a \cdot c + 2 a \cdot c \frac{6 a \cdot c + 18 a \cdot c}{9} 24 a \cdot c 24 a \cdot c \frac{24}{8} a \cdot c 3 a \cdot c 3 c \cdot a 3 c$

Sedangkan nilai dari $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ , yaitu:

$∣ ∣ AD ∣ ∣^{2} = = = = = AD \cdot AD (- \frac{2}{3} a + c) \cdot (- \frac{2}{3} a + c) (- \frac{2}{3} a) \cdot (- \frac{2}{3} a) - \frac{4}{3} a \cdot c + c \cdot c \frac{4}{9} a \cdot a - \frac{4}{3} a \cdot c + c \cdot c \frac{4}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{4}{3} a \cdot c + ∣ c ∣^{2}$

Substitusi $a = 3 c$ pada nilai $∣ ∣ AD ∣ ∣^{2}$ :

$∣ ∣ AD ∣ ∣^{2} ∣ ∣ AD ∣ ∣ = = = = = = = \frac{4}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{4}{3} a \cdot c + ∣ c ∣^{2} \frac{4}{9} ∣ 3 c ∣^{2} - \frac{4}{3} (3 c) \cdot c + ∣ c ∣^{2} \frac{4}{9} \times 9 ∣ c ∣^{2} - 4 c \cdot c + ∣ c ∣^{2} 4 ∣ c ∣^{2} - 4 ∣ c ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} ∣ c ∣^{2} ∣ ∣ OC ∣ ∣^{2} ∣ ∣ OC ∣ ∣$

Dengan demikian, terbukti bahwa jika $∣ ∣ AC ∣ ∣ = ∣ ∣ OD ∣ ∣$ , maka $∣ ∣ AD ∣ ∣ = ∣ ∣ OC ∣ ∣$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Dalam jajargenjang OABC, sudut AOC adalah lancip dan D suatu titik pada BC sehingga D B C D = 2 1 , OA = a dan OC = c . Buktikan bahwa 9 [ ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ OD ∣ ∣ 2 ] = 8 ( ∣ a ∣ 2...

112

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

112

0.0

Jawaban terverifikasi

Dalam trapesium OABC, OA dan CB adalah sisi-sisi sejajar, dan CB = 3 2 OA . Adapun M adalah titik tengah sisi OC , dan sudut OMA adalah tegak lurus OA = a dan OC = c . Nyatakan vektor-vektor O...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sudut antara vektor x dan y adalah 30°. Jika x ⋅ x = 6 dan x ⋅ y = 21 , maka

3.5

Jawaban terverifikasi