Pertanyaan

Buktikanlah : − cos x − 3 1 3 sin x = 3 2 3 cos ( x − 6 7 π )

Buktikanlah :

$- cos x - \frac{1}{3} 3 sin x = \frac{2}{3} 3 cos (x - \frac{7}{6} π)$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

− cos x − 3 1 3 sin x = 3 2 3 cos ( x − 6 7 π ) terbukti.

- cos x - \frac{1}{3} 3 sin x = \frac{2}{3} 3 cos (x - \frac{7}{6} π)

terbukti.

Pembahasan

Ingat konsep berikut : a cos x + b sin x = R cos ( x − α ) dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Dari soal diketahui : − cos x − 3 1 3 sin x = 3 2 3 cos ( x − 6 7 π ) Berdasarkan konsep diatas maka diperoleh : a cos x + b sin x − cos x − 3 1 3 sin x R = = = R cos ( x − α ) R cos ( x − α ) a 2 + b 2 = ( − 1 ) 2 + ( − 3 1 3 ) 2 = 1 + 9 3 = 9 12 = 9 4 × 3 = 3 2 3 Karena ( − 1 , − 3 1 3 ) berada pada kuadran tiga maka α juga di kuadran tiga dengan tan α = − 1 − 3 1 3 = 3 1 3 . Perhatikan : dimana α = π + θ Karena α = π + θ maka : tan θ θ α = = = 3 1 3 tan − 1 ( 3 1 3 ) = 6 π π + θ = π + 6 π = 6 6 π + 6 π = 6 7 π Maka diperoleh − cos x − 3 1 3 sin x = 3 2 3 cos ( x − 6 7 π ) . Dengan demikian, − cos x − 3 1 3 sin x = 3 2 3 cos ( x − 6 7 π ) terbukti.

Ingat konsep berikut :

$a cos x + b sin x = R cos (x - α)$
dengan $R = a^{2} + b^{2}$ dan $α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

Dari soal diketahui :

$- cos x - \frac{1}{3} 3 sin x = \frac{2}{3} 3 cos (x - \frac{7}{6} π)$

Berdasarkan konsep diatas maka diperoleh :

$a cos x + b sin x - cos x - \frac{1}{3} 3 sin x R = = = R cos (x - α) R cos (x - α) a^{2} + b^{2} = (- 1)^{2} + (- \frac{1}{3} 3)^{2} = 1 + \frac{3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{2}{3} 3$

Karena $(- 1, - \frac{1}{3} 3)$ berada pada kuadran tiga maka $α$ juga di kuadran tiga dengan $tan α = \frac{- \frac{1}{3} 3}{- 1} = \frac{1}{3} 3$ . Perhatikan :