Buktikan kebenaran sifat berikut! ( n + 1 ) ​ C r ​ = n ​ C ( r − 1 ) ​ + n ​ C r ​

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa ( n + 1 ) ​ C r ​ = n ​ C ( r − 1 ) ​ + n ​ C r ​ . Kombinasi r unsur dari n unsur berbeda adalah banyak susunan berbeda dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi dirumuskan sebagai berikut. n ​ C r ​ = r ! ⋅ ( n − r ) ! n ! ​ dengan n dan r bilangan asli. Akan dibuktikan kebenaran dari ( n + 1 ) ​ C r ​ = n ​ C ( r − 1 ) ​ + n ​ C r ​ Bukti: ( n + 1 ) ​ C r ​ r ! ⋅ ( n + 1 − r ) ! ( n + 1 ) ! ​ r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! ( n + 1 ) ⋅ n ! ​ r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! ( n + 1 ) ​ r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! ( n + 1 ) ​ n + 1 n + 1 n + 1 ​ = = = = = = = = ​ n ​ C ( r − 1 ) ​ + n ​ C r ​ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − ( r − 1 ) ) ! n ! ​ + r ! ⋅ ( n − r ) ! n ! ​ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! n ! ​ + r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r ) ! n ! ​ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! 1 ​ + r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r ) ! 1 ​ r ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ ( n − r + 1 ) ! ⋅ ( n − r ) ! r ⋅ ( n − r ) ! + ( n − r + 1 ) ! ​ ( n − r ) ! r ⋅ ( n − r ) ! + ( n − r + 1 ) ( n − r ) ! ​ ( n − r ) ! ( r + ( n − r + 1 ) ) ( n − r ) ! ​ n + 1 ​ Dengan demikian, terbukti bahwa ( n + 1 ) ​ C r ​ = n ​ C ( r − 1 ) ​ + n ​ C r ​ .