Buktikan identitas trigonometri berikut.
cos 6 x − cos 10 x cos 10 x + cos 6 x = cot 2 x ⋅ cot 8 x
Buktikan identitas trigonometri berikut.
cos6x−cos10xcos10x+cos6x=cot2x⋅cot8x
Iklan
AA
A. Acfreelance
Master Teacher
Jawaban terverifikasi
Jawaban
terbukti bahwa cos 6 x − cos 10 x cos 10 x + cos 6 x = cot 2 x ⋅ cot 8 x .
terbukti bahwa cos6x−cos10xcos10x+cos6x=cot2x⋅cot8x.
Iklan
Pembahasan
c o s 6 x − c o s 10 x c o s 10 x + c o s 6 x Sisi Kiri = = cot 2 x ⋅ cot 8 x Sisi Kanan
Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, dapat dilakukan penjabaran salah satu sisi dari sama dengan dan menunjukkan bahwa sisi tersebut dapat membentuk sisi lainnya. Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa sisi kiri dapat dibentuk sesuai dengan sisi kanan dengan menggunakan rumus selisih cosinus dan rumus selisih cosinus. Berikut adalah rumus selisih sinus dan penjumlahan cosinus:
cos A + cos B = − 2 ⋅ sin ( 2 A + B ) ⋅ sin ( 2 A − B )
cos A + cos B = 2 ⋅ cos ( 2 A + B ) ⋅ cos ( 2 A − B )
Dengan menggunakan kedua rumus di atas, maka sisi kiri dapat diubah bentuknya sebagaimana berikut:
c o s 6 x − c o s 10 x c o s 10 x + c o s 6 x = = = − 2 ⋅ s i n ( 2 6 x + 10 x ) ⋅ s i n ( 2 6 x − 10 x ) 2 ⋅ c o s ( 2 10 x + 6 x ) ⋅ c o s ( 2 10 x − 6 x ) − 2 ⋅ s i n ( 2 16 x ) ⋅ s i n ( 2 − 4 x ) 2 ⋅ c o s ( 2 16 x ) ⋅ c o s ( 2 4 x ) − s i n 8 x ⋅ s i n ( − 2 x ) c o s 8 x ⋅ c o s 2 x
Ingat kembali bahwa:
sin ( − 2 A ) = − sin A
dan
cot A = sin A cos A
Sehingga,
c o s 6 x − c o s 10 x c o s 10 x + c o s 6 x = = = = = = − s i n 8 x ⋅ s i n ( − 2 x ) c o s 8 x ⋅ c o s 2 x − s i n 8 x ⋅ ( − s i n 2 x ) c o s 8 x ⋅ c o s 2 x s i n 8 x ⋅ s i n 2 x c o s 8 x ⋅ c o s 2 x s i n 8 x c o s 8 x ⋅ s i n 2 x c o s 2 x cot 8 x ⋅ cot 2 x cot 2 x ⋅ cot 8 x
Karena sisi kiri dapat dibentuk menjadi sisi kanan, maka terbukti bahwa identitas trigonometri pada soal benar.
Dengan demikian, terbukti bahwa cos 6 x − cos 10 x cos 10 x + cos 6 x = cot 2 x ⋅ cot 8 x .
Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, dapat dilakukan penjabaran salah satu sisi dari sama dengan dan menunjukkan bahwa sisi tersebut dapat membentuk sisi lainnya. Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa sisi kiri dapat dibentuk sesuai dengan sisi kanan dengan menggunakan rumus selisih cosinus dan rumus selisih cosinus. Berikut adalah rumus selisih sinus dan penjumlahan cosinus:
cosA+cosB=−2⋅sin(2A+B)⋅sin(2A−B)
cosA+cosB=2⋅cos(2A+B)⋅cos(2A−B)
Dengan menggunakan kedua rumus di atas, maka sisi kiri dapat diubah bentuknya sebagaimana berikut: