Iklan

Iklan

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. k = 1 ∑ n ​ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = 4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ​

Buktikan dengan induksi matematika.

Iklan

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Iklan

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Jadi, terbukti benar. Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga Akan ditunjukkan bahwa untuk juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar untuk . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

sum from k equals 1 to n of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses open parentheses n plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end cell equals cell fraction numerator 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses open parentheses 1 plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell 1 times 2 times 3 end cell equals cell fraction numerator 1 times 2 times 3 times 4 over denominator 4 end fraction end cell row 6 equals 6 end table

Jadi, terbukti P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals m sehingga 

sum from k equals 1 to m of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction

Akan ditunjukkan bahwa untuk n equals m plus 1 juga benar, sedemikian sehingga 

sum from k equals 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses open parentheses m plus 4 close parentheses over denominator 4 end fraction

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from k equals 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell sum from k equals 1 to m of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus sum from k equals m plus 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 4 open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses open parentheses m plus 4 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals m plus 1.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

202

Putri Ayu

Makasih ❤️

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. ​ = ​ ( 1 × 2 × 3 ) + ( 2 × 3 × 4 ) + ( 3 × 4 × 5 ) + ⋯ + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 4 1 ​ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ​

2

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia