Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. = ( 1 × 2 × 3 ) + ( 2 × 3 × 4 ) + ( 3 × 4 × 5 ) + ⋯ + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 4 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

Buktikan dengan induksi matematika.

$= (1 \times 2 \times 3) + (2 \times 3 \times 4) + (3 \times 4 \times 5) + \dots + n (n + 1) (n + 2) \frac{1}{4} n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar untuk Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cross times 2 cross times 3 end cell equals cell 1 fourth times 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses open parentheses 1 plus 3 close parentheses end cell row 6 equals cell 1 fourth times 1 times 2 times 3 times 4 end cell row 6 equals 6 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

Bukti:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 cross times 2 cross times 3 close parentheses plus open parentheses 2 cross times 3 cross times 4 close parentheses plus open parentheses 3 cross times 4 cross times 5 close parentheses plus horizontal ellipsis plus k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank blank cell plus open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses plus open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 4 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses open parentheses fraction numerator k plus 4 over denominator 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses open parentheses k plus 4 close parentheses end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.