Pertanyaan

Buktikan bahwa luas maksimum persipanjang yang dapat dibuat di antara sumbu x , sumbu y dan garis a x + b y = ab sama dengan 4 1 ab .

Buktikan bahwa luas maksimum persipanjang yang dapat dibuat di antara sumbu $x$ , sumbu $y$ dan garis $a x + b y = ab$ sama dengan $\frac{1}{4} ab$ .

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa luas maksimum yang mungkin dari persegi panjang tersebut sama dengan 4 1 ab .

terbukti bahwa luas maksimum yang mungkin dari persegi panjang tersebut sama dengan

\frac{1}{4} ab

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa luas maksimum yang mungkin dari persegi panjang tersebut sama dengan 4 1 ab . Ingat bahwa suatu fungsi kuadrat f ( x ) = p x 2 + q x + r dengan p < 0 memiliki nilai maksimum pada titik puncak grafiknya, yaitu saat x = − 2 p q . Untuk membuktikan pernyataan di atas, dapat ditunjukkan dengan menghitung luas maksimum persegi panjang tersebut apakah sama dengan 4 1 ab atau tidak. Misalkan panjang dan lebar persegi panjang adalah m dan n . Maka titik ( m , n ) akan selalu berada pada garis a x + b y = ab dan menghasilkan persamaan sebagai berikut: am + bn am m = = = = ab ab − bn a ab − bn b − a b n Sehinggaluas persegi panjang tersebut, yaitu: L = = = m × n ( b − a b n ) × n bn − a b n 2 Diperoleh luas sebagai fungsi kuadrat dari n dengan p = − a b , q = b dan r = 0 . Karena p < 0 , maka luas persegi persegi panjang tersebut akan maksimum pada: n = = = = = − 2 p q − 2 ( − a b ) b ( − b ) ÷ ( − a 2 b ) b × 2 b a 2 a Luas maksimum persegi panjang tersebut, yaitu: L = = = = = b ( 2 a ) − a b ( 2 a ) 2 2 ab − 4 a a 2 b 2 ab − 4 ab 4 2 ab − 4 ab 4 1 ab Dengan demikian, terbukti bahwa luas maksimum yang mungkin dari persegi panjang tersebut sama dengan 4 1 ab .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa luas maksimum yang mungkin dari persegi panjang tersebut sama dengan $\frac{1}{4} ab$ .

Ingat bahwa suatu fungsi kuadrat $f (x) = p x^{2} + q x + r$ dengan $p < 0$ memiliki nilai maksimum pada titik puncak grafiknya, yaitu saat $x = - \frac{q}{2 p}$ .

Untuk membuktikan pernyataan di atas, dapat ditunjukkan dengan menghitung luas maksimum persegi panjang tersebut apakah sama dengan $\frac{1}{4} ab$ atau tidak.

Misalkan panjang dan lebar persegi panjang adalah $m dan n$ . Maka titik $(m, n)$ akan selalu berada pada garis $a x + b y = ab$ dan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

$am + bn am m = = = = ab ab - bn \frac{ab - bn}{a} b - \frac{b}{a} n$

Sehingga luas persegi panjang tersebut, yaitu:

$L = = = m \times n (b - \frac{b}{a} n) \times n bn - \frac{b}{a} n^{2}$

Diperoleh luas sebagai fungsi kuadrat dari $n$ dengan $p = - \frac{b}{a}, q = b dan r = 0$ . Karena $p < 0$ , maka luas persegi persegi panjang tersebut akan maksimum pada:

$n = = = = = - \frac{q}{2 p} - \frac{b}{2 ( - \frac{b}{a} )} (- b) \div (- \frac{2 b}{a}) b \times \frac{a}{2 b} \frac{a}{2}$

Luas maksimum persegi panjang tersebut, yaitu:

$L = = = = = b (\frac{a}{2}) - \frac{b}{a} (\frac{a}{2})^{2} \frac{ab}{2} - \frac{a ^{2} b}{4 a} \frac{ab}{2} - \frac{ab}{4} \frac{2 ab}{4} - \frac{ab}{4} \frac{1}{4} ab$