Pertanyaan

Banyaknya nilai θ dengan 0 ∘ < θ < 36 0 ∘ yang memenuhi adalah ….

Banyaknya nilai $θ$ dengan $0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}$ yang memenuhi adalah ….

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Mariyam

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Pertanian Bogor

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Sebelumnya, ingat kembali syarat pada logaritma bahwanumerus pada bentuk logaritma harus positif. Pada ruas kiri, didapat bentuk . Perhatikan bahwa karena numerusnya harus positif, maka sehingga didapat syarat . Pada ruas kanan, didapat bentuk . Perhatikan bahwa karena numerusnya harus positif, maka sehingga didapat syarat . Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut! Pada ruas kanan, didapat bentuk . Perhatikan bahwa numerusnya, yaitu akan selalu bernilai positif untuk . Dengan demikian, syarat ditambah menjadi dengan dan . Sekarang, perhatikan bahwa dari persamaan (1) didapat perhitungan berikut! Jika , maka diperoleh persamaan . Untuk mencari akar-akarnya, dapat digunakan rumus kuadratik sebagai berikut. Dengan kata lain, diperoleh dua penyelesaian: atau . Namun, karena , diambil sebagai solusi. Kemudian, perhatikan perhitungan berikut! Dengan kata lain, diperoleh dua penyelesaian: atau . Namun, karena ,maka diambil sebagai solusi. Karena dan , maka diperoleh nilai sebagai berikut. Perhatikan bahwa sampai sini, didapat satu nilai untuk dan satu nilai untuk . Dengan demikian, nilai yang memenuhi pasti tunggal/hanya satu. Karena dan , maka nilai pasti tunggal dan berada di kuadran II. Oleh karena itu, banyaknya nilai yang memenuhi adalah 1. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Sebelumnya, ingat kembali syarat pada logaritma bahwa numerus pada bentuk logaritma harus positif.

Pada ruas kiri, didapat bentuk log presuperscript 2 open parentheses 3 sin theta close parentheses . Perhatikan bahwa karena numerusnya harus positif, maka 3 sin theta greater than 0 sehingga didapat syarat .

Pada ruas kanan, didapat bentuk log presuperscript 2 left parenthesis negative 3 cos theta right parenthesis . Perhatikan bahwa karena numerusnya harus positif, maka negative 3 cos theta greater than 0 sehingga didapat syarat cos theta less than 0 .

Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut!

Pada ruas kanan, didapat bentuk log presuperscript 2 left parenthesis 18 cos squared theta right parenthesis . Perhatikan bahwa numerusnya, yaitu akan selalu bernilai positif untuk 0 degree less than theta less than 360 degree .

Dengan demikian, syarat ditambah menjadi 0 degree less than theta less than 360 degree dengan sin theta greater than 0 dan cos theta less than 0 .

Sekarang, perhatikan bahwa dari persamaan (1) didapat perhitungan berikut!

Jika sin theta equals y , maka diperoleh persamaan 6 y squared plus y minus 6 equals 0 .

Untuk mencari akar-akarnya, dapat digunakan rumus kuadratik sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction end cell row y equals cell fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of 1 squared minus 4 times 6 times left parenthesis negative 6 right parenthesis end root over denominator 2 times 6 end fraction end cell row y equals cell fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of 1 plus 144 end root over denominator 12 end fraction end cell row y equals cell fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of 145 over denominator 12 end fraction end cell end table$

Dengan kata lain, diperoleh dua penyelesaian: $sin theta equals fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction$ atau $sin theta equals fraction numerator negative 1 minus square root of 145 over denominator 12 end fraction$ . Namun, karena sin theta greater than 0 , diambil $sin theta equals fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction$ sebagai solusi.

Kemudian, perhatikan perhitungan berikut!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos squared theta plus sin squared theta end cell equals 1 row cell cos squared theta plus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end cell equals 1 row cell 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end cell equals cell cos squared theta end cell row cell plus-or-minus square root of 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end root end cell equals cell cos theta end cell end table$

Dengan kata lain, diperoleh dua penyelesaian: $cos theta equals negative square root of 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end root$ atau $cos theta equals square root of 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end root$ . Namun, karena cos theta less than 0 , maka diambil $cos theta equals negative square root of 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end root$ sebagai solusi.

Karena $sin theta equals fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction$ dan $cos theta equals negative square root of 1 minus open parentheses fraction numerator negative 1 plus square root of 145 over denominator 12 end fraction close parentheses squared end root$ , maka diperoleh nilai sebagai berikut.

Perhatikan bahwa sampai sini, didapat satu nilai untuk sin theta dan satu nilai untuk cos theta . Dengan demikian, nilai theta yang memenuhi pasti tunggal/hanya satu.

Karena sin theta greater than 0 dan cos theta less than 0 , maka nilai theta pasti tunggal dan berada di kuadran II.

Oleh karena itu, banyaknya nilai theta yang memenuhi adalah 1.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.