Pertanyaan

x → 4 1 π lim cos 2 x cos x − sin x = ...

$x \to \frac{1}{4} π lim \frac{cos x - sin x}{cos 2 x} = ...$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Seperti dalam limit fungsi aljabar, di dalam limit fungsi trigonometri, ada limit yang dapat ditentukan nilainya dengan mensubstitusi langsung nilaiyang didekati, dan ada yang menghasilkan bentuk tak tentu apabila nilaiyang didekati disubstitusi langsung. Dengan substitusi langsungdiperoleh: Berdasarkan uraian di atas, apabila disubstitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka untuk menentukan nilai limitnya harus dilakukan penjabaran fungsinya terlebih dahulu. Dengan menggunakan identitas trigonometri sudut rangkap , maka diperoleh: Setelah dilakukan penjabaran seperti di atas, nilai limit dapat ditentukan dengan subtitusi langsung sebagai berikut. Dengan demikian, . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Seperti dalam limit fungsi aljabar, di dalam limit fungsi trigonometri, ada limit yang dapat ditentukan nilainya dengan mensubstitusi langsung nilai yang didekati, dan ada yang menghasilkan bentuk tak tentu apabila nilai yang didekati disubstitusi langsung. Dengan substitusi langsung diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator cos space 2 x end fraction end cell equals cell fraction numerator cos space begin display style 1 fourth end style straight pi minus sin space begin display style 1 fourth end style straight pi over denominator cos space open parentheses 2 times begin display style 1 fourth end style straight pi close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator cos open parentheses begin display style 1 fourth end style times 180 degree close parentheses minus sin open parentheses 1 fourth times 180 degree close parentheses over denominator cos open parentheses 2 times begin display style 1 fourth end style times 180 degree close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator cos space 45 degree minus sin space 45 degree over denominator cos space 90 degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 1 half end style square root of 2 minus begin display style 1 half end style square root of 2 over denominator 0 end fraction end cell row blank equals cell 0 over 0 end cell end table$

Berdasarkan uraian di atas, apabila disubstitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0 over 0 , maka untuk menentukan nilai limitnya harus dilakukan penjabaran fungsinya terlebih dahulu. Dengan menggunakan identitas trigonometri sudut rangkap cos space 2 x equals cos squared x minus sin squared x , maka diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator cos space 2 x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator cos squared space x minus sin squared space x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator open parentheses cos space x plus sin space x close parentheses open parentheses cos space x minus sin space x close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator 1 over denominator cos space x plus sin space x end fraction end cell end table$

Setelah dilakukan penjabaran seperti di atas, nilai limit dapat ditentukan dengan subtitusi langsung sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator cos space 2 x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator 1 over denominator cos space x plus sin space x end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator cos space begin display style 1 fourth end style straight pi plus sin space begin display style 1 fourth end style straight pi end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator cos open parentheses begin display style 1 fourth end style times 180 degree close parentheses plus sin open parentheses begin display style 1 fourth end style times 180 degree close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator cos space 45 degree plus sin space 45 degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator begin display style 1 half end style square root of 2 plus begin display style 1 half end style square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 half square root of 2 end cell end table$

Dengan demikian, $limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of space fraction numerator cos space x minus sin space x over denominator cos space 2 x end fraction equals 1 half square root of 2$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.