8. Jika tan x = Q P ​ , maka nilai dari ( P cos 2 x + Q sin 2 x ) adalah....

Pembahasan

Ingat kembali rumussinus dan cosinus untuk sudut ganda: sin 2 α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α cos 2 α = 2 ⋅ cos 2 α − 1 dan jika terdapat segitiga siku-siku seperti gambar berikut: maka: sin α = c a ​ , cos α = c b ​ , dan tan α = b a ​ panjang sisi miring dapat dicari dengan teorema Pythagoras: c = a 2 + b 2 ​ Oleh karena diketahui tan x = Q P ​ , maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: c = P 2 + Q 2 ​ sehingga didapatkan sin x = P 2 + Q 2 ​ P ​ dan cos x = P 2 + Q 2 ​ Q ​ . Oleh karena itu, dapat diperoleh: ​ = = = = = = = = = ​ P cos 2 x + Q sin 2 x P ( cos 2 x − sin 2 x ) + Q ( 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ) P ( ( P 2 + Q 2 ​ Q ​ ) 2 − ( P 2 + Q 2 ​ P ​ ) 2 ) + Q ( 2 ⋅ P 2 + Q 2 ​ P ​ ⋅ P 2 + Q 2 ​ Q ​ ) P ( ( P 2 + Q 2 ​ ) 2 Q 2 ​ − ( P 2 + Q 2 ​ ) 2 P 2 ​ ) + Q ( P 2 + Q 2 ​ ⋅ P 2 + Q 2 ​ 2 ⋅ P ⋅ Q ​ ) P ( P 2 + Q 2 Q 2 ​ − P 2 + Q 2 P 2 ​ ) + Q ( P 2 + Q 2 2 PQ ​ ) P 2 + Q 2 P Q 2 ​ − P 2 + Q 2 P 3 ​ + P 2 + Q 2 2 P Q 2 ​ P 2 + Q 2 P Q 2 − P 3 + 2 P Q 2 ​ P 2 + Q 2 P Q 2 + 2 P Q 2 − P 3 ​ P 2 + Q 2 3 P Q 2 − P 3 ​ P 2 + Q 2 P ( 3 Q 2 − P 2 ) ​ ​ Dengan demikian, diperolehnilai dari ( P cos 2 x + Q sin 2 x ) adalah P 2 + Q 2 P ( 3 Q 2 − P 2 ) ​ . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.