Pertanyaan

7. Jika tan 2 θ = t dengan θ di kuadran pertama dan ∣ t ∣  = 1 , tentukanlah: b. cos θ

7. Jika $tan \frac{θ}{2} = t$ dengan $θ$ di kuadran pertama dan $∣ t ∣ \neq = 1$ , tentukanlah:

b. $cos θ$ $\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh cos θ = 1 + t 2 1 − t 2 .

diperoleh

cos θ = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

. $\;$

Pembahasan

Ingat kembali: rumus cosinusuntuk sudut ganda cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A jika diketahui tan A = b a , yang dapat di gambarkan pada segitiga siku-sikuberikut: maka sisi miring dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras sepertiberikut: c = a 2 + b 2 sehingga diperoleh sin A cos A = = = = c a a 2 + b 2 a c b a 2 + b 2 b . Pada kuadran pertama, sin A , cos A , dan tan A bernilai positif. Oleh karena diketahui tan 2 θ = t dengan θ di kuadran pertama dan ∣ t ∣  = 1 yang dapat dinyatakanseperti berikut: tan 2 θ = 1 t dan dapat digambarkan pada segitiga siku-siku seperti berikut: sehingga, karena a = t dan b = 1 maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh sisi miring adalah c = = t 2 + 1 2 t 2 + 1 dan dengan itu diperoleh: sin 2 θ = t 2 + 1 t cos 2 θ = t 2 + 1 1 Oleh karena itu, dengan menyubtitusikan nilai yang diperoleh di atas ke rumus cosinus untuk sudut ganda diperoleh: cos θ = = = = = = cos 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) − sin 2 ( 2 θ ) ( t 2 + 1 1 ) 2 − ( t 2 + 1 t ) 2 t 2 + 1 1 − t 2 + 1 t 2 t 2 + 1 1 − t 2 1 + t 2 1 − t 2 Dengan demikian, diperoleh cos θ = 1 + t 2 1 − t 2 .

Ingat kembali:

rumus cosinus untuk sudut ganda

$cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$

jika diketahui $tan A = \frac{a}{b}$ , yang dapat digambarkan pada segitiga siku-siku berikut:

maka sisi miring dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras seperti berikut:

$c = a^{2} + b^{2}$

sehingga diperoleh

$sin A cos A = = = = \frac{a}{c} \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}} \frac{b}{c} \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

Pada kuadran pertama, $sin A$ , $cos A$ , dan $tan A$ bernilai positif.

Oleh karena diketahui $tan \frac{θ}{2} = t$ dengan $θ$ di kuadran pertama dan $∣ t ∣ \neq = 1$ yang dapat dinyatakan seperti berikut:

$tan \frac{θ}{2} = \frac{t}{1}$

dan dapat digambarkan pada segitiga siku-siku seperti berikut:

sehingga, karena $a = t$ dan $b = 1$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh sisi miring adalah

$c = = t^{2} + 1^{2} t^{2} + 1$

dan dengan itu diperoleh:

$sin \frac{θ}{2} = \frac{t}{t ^{2} + 1} cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{t ^{2} + 1}$

Oleh karena itu, dengan menyubtitusikan nilai yang diperoleh di atas ke rumus cosinus untuk sudut ganda diperoleh:

$cos θ = = = = = = cos 2 (\frac{θ}{2}) cos^{2} (\frac{θ}{2}) - sin^{2} (\frac{θ}{2}) (\frac{1}{t ^{2} + 1})^{2} - (\frac{t}{t ^{2} + 1})^{2} \frac{1}{t ^{2} + 1} - \frac{t ^{2}}{t ^{2} + 1} \frac{1 - t ^{2}}{t ^{2} + 1} \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$