Pertanyaan

6. Dalam sebuah △ A BC , diketahui tan α = − 4 dan cos 2 β = − 169 119 . Tanpa menggunakan daftar atau tabel matematika maupun kalkulator, tentukan tan y , dengan α , β , γ adalah sudut dalam △ A BC .

6. Dalam sebuah $△ A BC$ , diketahui $tan α = - 4$ dan $cos^{2} β = - \frac{119}{169}$ . Tanpa menggunakan daftar atau tabel matematika maupun kalkulator, tentukan $tan y$ , dengan $α$ , $β$ , $γ$ adalah sudut dalam $△ A BC$ . $\;$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh tan y = − 119 + 20 2 − 4 119 + 5 2 .

diperoleh

tan y = - \frac{- 4 119 + 5 2}{119 + 20 2}

. $\;$

Pembahasan

Ralat! cos 2 β = − 169 119 diralat menjadi cos 2 β = 169 119 karena bilangan yang dipangkatkan selalu bernilai positif. tan y diralat menjadi tan γ Ingat! Jumlah sudut dalam segitiga adalah 18 0 ∘ Jika diketahui cos α = c b , maka dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh panjang sisi a = c 2 − b 2 dan tan α = b a tan ( 18 0 ∘ − α ) = − tan α tan ( α + β ) = 1 − t a n α ⋅ t a n β t a n α + t a n β Oleh karena itu, karena α , β , γ adalah sudut dalam △ A BC , maka α + β + γ γ = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − ( α + β ) sehingga dapat diperoleh tan γ = = = tan ( 18 0 ∘ − ( α + β ) ) − tan ( α + β ) − 1 − t a n α ⋅ t a n β t a n α + t a n β ( 1 ) Sebelum mencari tan γ , tan β akan dicari terlebih dahulu: oleh karena cos 2 β = 169 119 ,maka diperoleh cos β = 169 119 = 169 119 = 1 3 2 119 = 13 119 sehingga b = 119 dan c = 13 , maka dengan theorema Pytagoras di atas, diperoleh a = = = = = = = = c 2 − b 2 1 3 2 − ( 119 ) 2 169 − 119 50 25 × 2 25 × 2 5 × 2 5 2 dan tan β = b a = 119 5 2 . Dengan menyubtitusi nilai tan α = − 4 dan tan β = 119 5 2 ke (1), diperoleh tan γ = = = = = = = − 1 − t a n α ⋅ t a n β t a n α + t a n β − 1 − ( − 4 ) ⋅ 119 5 2 − 4 + 119 5 2 − 1 + 4 ⋅ 119 5 2 − 4 ⋅ 119 119 + 119 5 2 − 1 + 119 20 2 119 − 4 119 + 119 5 2 − 119 119 + 119 20 2 119 − 4 119 + 5 2 − 119 119 + 20 2 119 − 4 119 + 5 2 − 119 + 20 2 − 4 119 + 5 2 Dengan demikian, diperoleh tan y = − 119 + 20 2 − 4 119 + 5 2 .

Ralat!

$cos^{2} β = - \frac{119}{169}$ diralat menjadi $cos^{2} β = \frac{119}{169}$ karena bilangan yang dipangkatkan selalu bernilai positif.
$tan y$ diralat menjadi $tan γ$

Ingat!

Jumlah sudut dalam segitiga adalah $18 0^{\circ}$
Jika diketahui $cos α = \frac{b}{c}$ , maka dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh panjang sisi $a = c^{2} - b^{2}$ dan $tan α = \frac{a}{b}$
$tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$
$tan (α + β) = \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α \cdot t a n β}$

Oleh karena itu, karena $α$ , $β$ , $γ$ adalah sudut dalam $△ A BC$ , maka

$α + β + γ γ = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - (α + β)$

sehingga dapat diperoleh

$tan γ = = = tan (18 0^{\circ} - (α + β)) - tan (α + β) - \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α \cdot t a n β} (1)$

Sebelum mencari $tan γ$ , $tan β$ akan dicari terlebih dahulu:

oleh karena $cos^{2} β = \frac{119}{169}$ , maka diperoleh

$cos β = \frac{119}{169} = \frac{119}{169} = \frac{119}{1 3 ^{2}} = \frac{119}{13}$

sehingga $b = 119$ dan $c = 13$ , maka dengan theorema Pytagoras di atas, diperoleh

$a = = = = = = = = c^{2} - b^{2} 1 3^{2} - (119)^{2} 169 - 119 50 25 \times 2 25 \times 2 5 \times 2 52$

dan $tan β = \frac{a}{b} = \frac{5 2}{119}$ .

Dengan menyubtitusi nilai $tan α = - 4$ dan $tan β = \frac{5 2}{119}$ ke (1), diperoleh

$tan γ = = = = = = = - \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α \cdot t a n β} - \frac{- 4 + \frac{5 2}{119}}{1 - ( - 4 ) \cdot \frac{5 2}{119}} - \frac{- 4 \cdot \frac{119}{119} + \frac{5 2}{119}}{1 + 4 \cdot \frac{5 2}{119}} - \frac{\frac{- 4 119}{119} + \frac{5 2}{119}}{1 + \frac{20 2}{119}} - \frac{\frac{- 4 119 + 5 2}{119}}{\frac{119}{119} + \frac{20 2}{119}} - \frac{\frac{- 4 119 + 5 2}{119}}{\frac{119 + 20 2}{119}} - \frac{- 4 119 + 5 2}{119 + 20 2}$