Pertanyaan

1. Gambar berikut menunjukan ekspresi tan − 1 ( 3 2 ) + tan − 1 ( 5 1 ) = 4 π . a. Tunjukkan bahwa ∠ A BC = 2 π .

1. Gambar berikut menunjukan ekspresi $tan^{- 1} (\frac{2}{3}) + tan^{- 1} (\frac{1}{5}) = \frac{π}{4}$ .

$\;$

a. Tunjukkan bahwa $∠ A BC = \frac{π}{2}$ . $\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

telah ditunjukan bahwa ∠ A BC = 2 π .

telah ditunjukan bahwa

∠ A BC = \frac{π}{2}

. $\;$

Pembahasan

Ingat kembali: panjang sisi miring segitiga siku-siku dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras: c = a 2 + b 2 , dengan dan b adalah panjang sisi tegak tan α = panjangsisisamping panjangsisidepan jika diketahui tan α = b a , maka tan − 1 ( b a ) = tan − 1 ( tan α ) = α jumlah ketiga sudut dalam segitiga: ∠ α + ∠ β + ∠ γ = π Oleh karena itu, dengan melihat gambar: Perhatikan △ A CP . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak A P = 5 dan CP = 1 , maka panjang sisi miring adalah A C = 5 2 + 1 2 = 25 + 1 = 26 . Perhatikan △ A BQ . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak A Q = 3 dan BQ = 2 , maka panjang sisi miring adalah A B = 3 2 + 2 2 = 9 + 4 = 13 . Perhatikan △ BCR . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak BR = 2 dan CR = 3 , maka panjang sisi miring adalah BC = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 . Perhatikan △ A BC . Oleh karena panjang sisi A B = BC , maka ∠ B A C = ∠ A CB . Lihat kembali gambar. Dapat diperoleh bahwa tan α = 3 2 dan tan β = 5 1 dan karena diketahui tan − 1 ( 3 2 ) + tan − 1 ( 5 1 ) = 4 π , maka tan − 1 ( tan α ) + tan − 1 ( tan β ) α + β = = 4 π 4 π Kemudian, oleh karena ∠ B A C = α + β dan ∠ B A C = ∠ A CB , maka diperoleh ∠ B A C = ∠ A CB = α + β = 4 π . Perhatikan kembali △ A BC . Oleh karenajumlah sudut dalam suatu segitiga adalah π , maka diperoleh ∠ A BC + ∠ B A C + ∠ A CB ∠ ABC + 4 π + 4 π ∠ ABC + 4 π + π ∠ ABC + 4 2 π ∠ ABC + 2 π ∠ ABC ∠ ABC ∠ ABC ∠ ABC = = = = = = = = = π π π π π π − 2 π 2 2 π − 2 π 2 2 π − π 2 π Dengan demikian, telah ditunjukan bahwa ∠ A BC = 2 π .

Ingat kembali:

panjang sisi miring segitiga siku-siku dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras: $c = a^{2} + b^{2}$ , dengan $a$ dan $b$ adalah panjang sisi tegak
$tan α = \frac{panjang sisi depan}{panjang sisi samping}$
jika diketahui $tan α = \frac{a}{b}$ , maka $tan^{- 1} (\frac{a}{b}) = tan^{- 1} (tan α) = α$
jumlah ketiga sudut dalam segitiga: $∠ α + ∠ β + ∠ γ = π$

Oleh karena itu, dengan melihat gambar:

Perhatikan $△ A CP$ . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak $A P = 5$ dan $CP = 1$ , maka panjang sisi miring adalah $A C = 5^{2} + 1^{2} = 25 + 1 = 26$ .

Perhatikan $△ A BQ$ . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak $A Q = 3$ dan $BQ = 2$ , maka panjang sisi miring adalah $A B = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .

Perhatikan $△ BCR$ . Dapat diperoleh bahwa panjang sisi tegak $BR = 2$ dan $CR = 3$ , maka panjang sisi miring adalah $BC = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .

Perhatikan $△ A BC$ . Oleh karena panjang sisi $A B = BC$ , maka $∠ B A C = ∠ A CB$ .

Lihat kembali gambar. Dapat diperoleh bahwa $tan α = \frac{2}{3}$ dan $tan β = \frac{1}{5}$ dan karena diketahui $tan^{- 1} (\frac{2}{3}) + tan^{- 1} (\frac{1}{5}) = \frac{π}{4}$ , maka

$tan^{- 1} (tan α) + tan^{- 1} (tan β) α + β = = \frac{π}{4} \frac{π}{4}$

Kemudian, oleh karena $∠ B A C = α + β$ dan $∠ B A C = ∠ A CB$ , maka diperoleh $∠ B A C = ∠ A CB = α + β = \frac{π}{4}$ .

Perhatikan kembali $△ A BC$ . Oleh karena jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah $π$ , maka diperoleh

$∠ A BC + ∠ B A C + ∠ A CB ∠ ABC + \frac{π}{4} + \frac{π}{4} ∠ ABC + \frac{π + π}{4} ∠ ABC + \frac{2 π}{4} ∠ ABC + \frac{π}{2} ∠ ABC ∠ ABC ∠ ABC ∠ ABC = = = = = = = = = π π π π π π - \frac{π}{2} \frac{2 π}{2} - \frac{π}{2} \frac{2 π - π}{2} \frac{π}{2}$

Dengan demikian, telah ditunjukan bahwa $∠ A BC = \frac{π}{2}$ . $\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Dengan menggunakan formula trigonometri sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B , tentukan ekspresi aljabar untuk ekspresi sin [ tan − 1 ( x ) + cos − 1 ( 2 x ) ] .

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk sin 2 θ = 2 sin θ cos θ , hitunglah ekspresi sin ( 2 tan − 1 4 ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Hitunglah setiap ekspresi berikut. b. sin [ tan − 1 ( − 5 12 ) ]

4.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan formula sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y dan pemisalan, hitunglah sin [ cos − 1 5 3 − tan − 1 13 7 ] .

107

0.0

Jawaban terverifikasi