Garis y = (1 - a)x + a - 1 memotong kurva y = x^2 + (a-1)x - 3a + 3 di titik (b, c) dan (d, e). Berapa nilai dari 1/b + 1/d ? (A) 0 (B) 1/4 (C) 2/4 (D) 3/4 (E) 1

Untuk mencari titik potong antara garis dan kurva, kita harus menyamakan persamaan y dari garis dan kurva: Persamaan garis: y = (1 - a)x + a - 1 Persamaan kurva: y = x^2 + (a - 1)x - 3a + 3 Kita ingin mencari nilai-nilai x di mana y dari garis sama dengan y dari kurva, jadi kita akan menyamakan persamaan: (1 - a)x + a - 1 = x^2 + (a - 1)x - 3a + 3 Sederhanakan persamaan tersebut: x^2 - (1 - a)x - 2a + 4 = 0 Kita memiliki persamaan kuadrat yang dapat dipecahkan untuk mencari nilai-nilai x di mana garis dan kurva memotong. Jika kita menyebut titik-titik potong tersebut sebagai bb dan dd, maka kita bisa menyatakan persamaan kuadrat sebagai: (x - b)(x - d) = 0 Ini berarti bahwa salah satu dari x=bx=b atau x=dx=d harus menjadi akar dari persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena itu, kita perlu memecahkan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari akar-akarnya, yaitu nilai bb dan dd. Namun, dalam hal ini, kita sebenarnya tidak perlu memecahkan persamaan kuadrat secara eksplisit. Kita hanya perlu melihat bahwa persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar yang sama dengan bb dan dd. Jadi, kita dapat langsung menghitung nilai 1/b+1/d1/b+1/d sebagai: 1b+1d=b+dbdb1​+d1​=bdb+d​ Karena akar-akar persamaan kuadrat x2−(1−a)x−2a+4=0x2−(1−a)x−2a+4=0 adalah bb dan dd, maka berdasarkan hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat dan akar-akarnya (Vieta's formulas), kita memiliki: b+d=1−ab+d=1−a bd=−2a+4bd=−2a+4 Jadi, 1b+1d=b+dbd=1−a−2a+4b1​+d1​=bdb+d​=−2a+41−a​ Kita bisa menyederhanakan lebih lanjut: 1b+1d=1−a−2(a−2)=a−12(a−2)b1​+d1​=−2(a−2)1−a​=2(a−2)a−1​ Saat kita mencoba beberapa nilai aa, kita melihat bahwa jika a=1a=1, maka hasilnya adalah 0. Oleh karena itu, jawabannya adalah (A) 0.