Pertanyaan

Vektor posisi titik-titik sudut sebuah segitiga adalah , , dan . Nyatakan sisi-sisi segitiga sebagai vektor satuan dan tentukan kelilingnya.

Vektor posisi titik-titik sudut sebuah segitiga adalah $\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ , $3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}-4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+5\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ , dan $-2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+7\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ . Nyatakan sisi-sisi segitiga sebagai vektor satuan dan tentukan kelilingnya. $\;$

K. Prameswari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Namakan titik-titik sudut segitiga sebagai , , dan .Sehingga vektor posisi dari masing-masing titik dapat dinyatakan sebagai OP ⇀ = ⎝ ⎛ 1 2 3 ⎠ ⎞ , OQ ⇀ = ⎝ ⎛ 3 − 4 5 ⎠ ⎞ , OR ⇀ = ⎝ ⎛ − 2 3 7 ⎠ ⎞ Selanjutnya, akan ditentukan sisi-sisi segitiga sebagai vektor yaitu vektor PQ ⇀ , QR ⇀ , dan PR ⇀ seperti di bawah ini PQ ⇀ QR ⇀ PR ⇀ = = = = = = = = = = = = OQ ⇀ − OP ⇀ ⎝ ⎛ 3 − 4 5 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 2 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 3 − 1 − 4 − 2 5 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 − 6 2 ⎠ ⎞ OR ⇀ − OQ ⇀ ⎝ ⎛ − 2 3 7 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 3 − 4 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 − 3 3 − ( − 4 ) 7 − 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 5 7 2 ⎠ ⎞ OR ⇀ − OP ⇀ ⎝ ⎛ − 2 3 7 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 2 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 − 1 3 − 2 7 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 3 1 4 ⎠ ⎞ Sehingga diperoleh sisi-sisi segitiga sebagai vektor satuan yaitu Selanjutnya, akan ditentukan keliling segitiga PQR. Artinya, terlebih dahulu harus ditentukan panjang dari masing-masing vektor PQ ⇀ , QR ⇀ , dan PR ⇀ . Ingat kembali bahwa untuk suatu vektor , panjang vektor tersebut adalah ∣ ∣ A B ⇀ ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 Sehingga didapat ∣ ∣ PQ ⇀ ∣ ∣ ∣ ∣ QR ⇀ ∣ ∣ ∣ ∣ PR ⇀ ∣ ∣ = = = = = = = = = 2 2 + ( − 6 ) 2 + 2 2 4 + 36 + 4 44 ( − 5 ) 2 + 7 2 + 2 2 25 + 49 + 4 78 ( − 3 ) 2 + 1 2 + 4 2 9 + 1 + 16 26 Akibatnya, diperoleh keliling segitiga yaitu Keliling = = ∣ ∣ PQ ⇀ ∣ ∣ + ∣ ∣ QR ⇀ ∣ ∣ + ∣ ∣ PR ⇀ ∣ ∣ 44 + 78 + 26 Dengan demikian, diperoleh vektor satuan dari masing-masing sisi yaitu dan keliling segitiga adalah ( 44 + 78 + 26 ) satuan keliling

Namakan titik-titik sudut segitiga sebagai $\mathrm P=\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ , $\mathrm Q=3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}-4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+5\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ , dan $\mathrm R=-2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+7\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}$ . Sehingga vektor posisi dari masing-masing titik dapat dinyatakan sebagai

$OP ⇀ = ⎝ ⎛ 123 ⎠ ⎞, OQ ⇀ = ⎝ ⎛ 3 - 4 5 ⎠ ⎞, OR ⇀ = ⎝ ⎛ - 2 37 ⎠ ⎞$

Selanjutnya, akan ditentukan sisi-sisi segitiga sebagai vektor yaitu vektor $PQ ⇀$ , $QR ⇀$ , dan $PR ⇀$ seperti di bawah ini

$PQ ⇀ QR ⇀ PR ⇀ = = = = = = = = = = = = OQ ⇀ - OP ⇀ ⎝ ⎛ 3 - 4 5 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 123 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 3 - 1 - 4 - 2 5 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 - 6 2 ⎠ ⎞ OR ⇀ - OQ ⇀ ⎝ ⎛ - 2 37 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 3 - 4 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 - 3 3 - (- 4) 7 - 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 5 72 ⎠ ⎞ OR ⇀ - OP ⇀ ⎝ ⎛ - 2 37 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 123 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 - 1 3 - 2 7 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 3 14 ⎠ ⎞$

Sehingga diperoleh sisi-sisi segitiga sebagai vektor satuan yaitu

$\begin{array}{rcl}\overset\rightharpoonup{PQ}&=&2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}-6\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\\\overset\rightharpoonup{QR}&=&-5\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+7\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\\\overset\rightharpoonup{PR}&=&-3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\end{array}$

Selanjutnya, akan ditentukan keliling segitiga PQR. Artinya, terlebih dahulu harus ditentukan panjang dari masing-masing vektor $PQ ⇀$ , $QR ⇀$ , dan $PR ⇀$ . Ingat kembali bahwa untuk suatu vektor $\begin{array}{rcl}\overset\rightharpoonup{AB}&=&x\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+y\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+z\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\end{array}$ , panjang vektor tersebut adalah

$∣ ∣ A B ⇀ ∣ ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Sehingga didapat

$∣ ∣ PQ ⇀ ∣ ∣ ∣ ∣ QR ⇀ ∣ ∣ ∣ ∣ PR ⇀ ∣ ∣ = = = = = = = = = 2^{2} + (- 6)^{2} + 2^{2} 4 + 36 + 4 44 (- 5)^{2} + 7^{2} + 2^{2} 25 + 49 + 4 78 (- 3)^{2} + 1^{2} + 4^{2} 9 + 1 + 16 26$

Akibatnya, diperoleh keliling segitiga yaitu

$Keliling = = ∣ ∣ PQ ⇀ ∣ ∣ + ∣ ∣ QR ⇀ ∣ ∣ + ∣ ∣ PR ⇀ ∣ ∣ 44 + 78 + 26$

Dengan demikian, diperoleh vektor satuan dari masing-masing sisi yaitu

$\begin{array}{rcl}\overset\rightharpoonup{PQ}&=&2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf i}-6\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf j}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf k}\\\overset\rightharpoonup{QR}&=&-5\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+7\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\\\overset\rightharpoonup{PR}&=&-3\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol j}+4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol k}\end{array}$

dan keliling segitiga adalah $(44 + 78 + 26) satuan keliling$