Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 2 π yang memenuhi persamaan di bawah ini : cos x − 3 sin x − 1 = 0

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0 \leq x \leq 2 π$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$cos x - 3 sin x - 1 = 0$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 3 4 π , 2 π } .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

{\frac{4}{3} π, 2 π}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) R = = a cos x + b sin x , dengan a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : cos x − 3 sin x − 1 cos x − 3 sin x = = 0 1 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) cos x − 3 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) = 1 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = ( 1 ) 2 + ( − 3 ) 2 = 1 + 3 = 4 = 2 Karena ( 1 , − 3 ) berada di kuadran empat maka α juga di kuadran empat dengan tan α = − 1 3 . Perhatikan : dimana α = 2 π − θ Karena α = 2 π − θ maka : θ = tan − 1 ( 1 3 ) = 3 π α = 2 π − θ = 3 5 π Sehingga diperoleh persamaan 2 cos ( x − 3 5 π ) = 1 . Maka diperoleh : 2 cos ( x − 3 5 π ) cos ( x − 3 5 π ) ( x − 3 5 π ) x cos − 1 ( 2 1 ) x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 1 2 1 cos − 1 ( 2 1 ) α ± cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 3 π α + cos ( R c ) + k ⋅ 2 π α − cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 : 3 5 π + 3 π = 2 π 3 5 π − 3 π = 3 4 π Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 3 4 π , 2 π } .

Ingat :

$R cos (x - α) R = = a cos x + b sin x, dengan a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$cos x - 3 sin x - 1 cos x - 3 sin x = = 01$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) cos x - 3 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) = 1 a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} = (1)^{2} + (- 3)^{2} = 1 + 3 = 4 = 2$

Karena $(1, - 3)$ berada di kuadran empat maka $α$ juga di kuadran empat dengan $tan α = - \frac{3}{1}$ . Perhatikan :

dimana $α = 2 π - θ$

Karena $α = 2 π - θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} (\frac{3}{1}) = \frac{π}{3} α = 2 π - θ = \frac{5}{3} π$

Sehingga diperoleh persamaan $2 cos (x - \frac{5}{3} π) = 1$ . Maka diperoleh :

$2 cos (x - \frac{5}{3} π) cos (x - \frac{5}{3} π) (x - \frac{5}{3} π) x cos^{- 1} (\frac{1}{2}) x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 1 \frac{1}{2} cos^{- 1} (\frac{1}{2}) α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π \frac{π}{3} α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0 : \frac{5}{3} π + \frac{π}{3} = 2 π \frac{5}{3} π - \frac{π}{3} = \frac{4}{3} π$