Pertanyaan

Ubahlah menjadi bentuk persegi panjang (Cartesius) setiap bentuk berikut. r = 3 cos 2 θ

Ubahlah menjadi bentuk persegi panjang (Cartesius) setiap bentuk berikut.

$r = 3 cos 2 θ$

P. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

bentuk persegi panjang (Cartesius) dari r = 3 cos 2 θ adalah x 6 + 3 x 4 y 2 − 9 x 4 + 18 x 2 y 2 − 9 y 4 + 3 x 2 y 4 + y 6 = 0 .

bentuk persegi panjang (Cartesius) dari

r = 3 cos 2 θ

adalah

x^{6} + 3 x^{4} y^{2} - 9 x^{4} + 18 x^{2} y^{2} - 9 y^{4} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6} = 0

Pembahasan

Ingat bahwa, cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ dan r 2 x y = = = x 2 + y 2 r cos θ r sin θ Dengan mengaplikasikan bentuk sudut rangkap, hubungan koordinat polar dan kartesius, serta mengalikan kedua ruas dengan r 2 didapatkan r r 2 ( r ) r 3 ( x 2 + y 2 ) 3 [ ( x 2 + y 2 ) 3 ] 2 ( x 2 + y 2 ) 3 ( x 2 ) 3 + 3 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) + 3 ( x 2 ) ( y 2 ) 2 + ( y 2 ) 3 x 6 + 3 x 4 y 2 + 3 x 2 y 4 + y 6 x 6 + 3 x 4 y 2 − 9 x 4 + 18 x 2 y 2 − 9 y 4 + 3 x 2 y 4 + y 6 = = = = = = = = = = 3 cos 2 θ 3 ( cos 2 θ − sin 2 θ ) 3 ( r 2 cos 2 θ − r 2 sin 2 θ ) 3 ( x 2 − y 2 ) 3 ( x 2 − y 2 ) [ 3 ( x 2 − y 2 ) ] 2 9 ( x 2 − y 2 ) 2 9 ( x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) 9 x 4 − 18 x 2 y 2 + 9 y 4 0 Dengan demikian,bentuk persegi panjang (Cartesius) dari r = 3 cos 2 θ adalah x 6 + 3 x 4 y 2 − 9 x 4 + 18 x 2 y 2 − 9 y 4 + 3 x 2 y 4 + y 6 = 0 .

Ingat bahwa, $cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ$ dan

$r^{2} x y = = = x^{2} + y^{2} r cos θ r sin θ$

Dengan mengaplikasikan bentuk sudut rangkap, hubungan koordinat polar dan kartesius, serta mengalikan kedua ruas dengan $r^{2}$ didapatkan

$r r^{2} (r) r^{3} (x^{2} + y^{2})^{3} [(x^{2} + y^{2})^{3}]^{2} (x^{2} + y^{2})^{3} (x^{2})^{3} + 3 (x^{2})^{2} (y^{2}) + 3 (x^{2}) (y^{2})^{2} + (y^{2})^{3} x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6} x^{6} + 3 x^{4} y^{2} - 9 x^{4} + 18 x^{2} y^{2} - 9 y^{4} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6} = = = = = = = = = = 3 cos 2 θ 3 (cos^{2} θ - sin^{2} θ) 3 (r^{2} cos^{2} θ - r^{2} sin^{2} θ) 3 (x^{2} - y^{2}) 3 (x^{2} - y^{2}) [3 (x^{2} - y^{2})]^{2} 9 (x^{2} - y^{2})^{2} 9 (x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) 9 x^{4} - 18 x^{2} y^{2} + 9 y^{4} 0$

Dengan demikian, bentuk persegi panjang (Cartesius) dari $r = 3 cos 2 θ$ adalah $x^{6} + 3 x^{4} y^{2} - 9 x^{4} + 18 x^{2} y^{2} - 9 y^{4} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6} = 0$ .