Pertanyaan

Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap n ≥ 1 , berlaku ( 1 ⋅ 2 ) + ( 2 ⋅ 3 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ... + n ⋅ ( n + 1 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap $n \geq 1$ , berlaku

$(1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + ... + n \cdot (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan, adalah pernyataan . Diberikan, 1. Buktikan jika n = 1 benar. Perhatikan bahwa adalah adalah benar. 2. Asumsikan jika n = k bernilai benar. Diasumsikan bahwa benar untuk semua , maka untuk suatu , berlaku ...(1) 3. Jika n = k bernilai benar maka n = k + 1 bernilai benar. Akan ditunjukkan kebenaran dari pernyataan . Diperoleh, ( 1 ⋅ 2 ) + ( 2 ⋅ 3 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ... + k ⋅ ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ⋅ ( k + 1 + 1 ) ( 1 ⋅ 2 ) + ( 2 ⋅ 3 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ... + k ⋅ ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ⋅ ( k + 2 ) = = 3 1 ( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ) ( k + 1 + 2 ) 3 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) kemudian akan dibuktikan ruas sebelah kanan = ruas sebelah kiri. ( 1 ⋅ 2 ) + ( 2 ⋅ 3 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ... + k ⋅ ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ⋅ ( k + 2 ) 3 1 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) + ( k + 1 ) ⋅ ( k + 2 ) 3 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 3 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ( k + 3 ) 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) = = = = = 3 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) Terbukti kebenaran dari , Jadi, terbukti bahwa adalah benar untuk setiap .

Misalkan, P subscript n adalah pernyataan open parentheses 1 times 2 close parentheses plus left parenthesis 2 times 3 right parenthesis plus left parenthesis 3 times 4 right parenthesis plus... plus n times left parenthesis n plus 1 right parenthesis equals 1 third n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis . Diberikan, n subscript 0 equals 1

1. Buktikan jika $n = 1$ benar.

Perhatikan bahwa P subscript 1 adalah 1 times 2 equals 1 third left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis left parenthesis 1 plus 2 right parenthesis adalah benar.

2. Asumsikan jika $n = k$ bernilai benar.

Diasumsikan bahwa P subscript k benar untuk semua k greater or equal than 1 , maka untuk suatu , berlaku

open parentheses 1 times 2 close parentheses plus left parenthesis 2 times 3 right parenthesis plus left parenthesis 3 times 4 right parenthesis plus... plus k times left parenthesis k plus 1 right parenthesis equals 1 third k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis ...(1)

3. Jika $n = k$ bernilai benar maka $n = k + 1$ bernilai benar.

Akan ditunjukkan kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript .

Diperoleh,

$(1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + ... + k \cdot (k + 1) + (k + 1) \cdot (k + 1 + 1) (1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + ... + k \cdot (k + 1) + (k + 1) \cdot (k + 2) = = \frac{1}{3} (k + 1) (k + 1 + 1) (k + 1 + 2) \frac{1}{3} (k + 1) (k + 2) (k + 3)$

kemudian akan dibuktikan ruas sebelah kanan = ruas sebelah kiri.

$(1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + ... + k \cdot (k + 1) + (k + 1) \cdot (k + 2) \frac{1}{3} k (k + 1) (k + 2) + (k + 1) \cdot (k + 2) \frac{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} + \frac{3 ( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} \cdot (k + 3) \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )}{3} = = = = = \frac{1}{3} (k + 1) (k + 2) (k + 3) \frac{1}{3} (k + 1) (k + 2) (k + 3) \frac{1}{3} (k + 1) (k + 2) (k + 3) \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )}{3} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )}{3}$

Terbukti kebenaran dari P subscript k plus 1 end subscript ,

Jadi, terbukti bahwa adalah benar untuk setiap .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.6 (11 rating)

Nafila Buna

Ini yang aku cari! Mudah dimengerti Makasih ❤️

Regina Anastasya

Pembahasan tidak menjawab soal Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Jika , maka pernyataan P k + 1 yang benar adalah ....

4.0

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap n ≥ 1 , berlaku 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

4.1

Jawaban terverifikasi

Prove that the following are true for all positive integral value of n. Use mathematical induction. 1. a + ( a + b ) + ( a + 2 b ) + . . . + [ a + ( n − 1 ) b ] = 2 n ( 2 a + ( n − 1 ) b

5.0

Jawaban terverifikasi

Prove that the following are true for all positive integral value of n. Use mathematical induction. 2. a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + ... + a ⋅ r n − 1 = 1 − r a ( 1 − r n )

1.5

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah: c. P n ≡ 1.3 1 + 2.4 1 + 3.5 1 + ... + n ( n + 2 ) 1 = 4 ( n + 1 ) ( n + 2 ) n ( 3 n + 5 )

3.0

Jawaban terverifikasi