Pertanyaan

Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap n ≥ 1 , berlaku 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap $n \geq 1$ , berlaku

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan, adalah pernyataan 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) . Diberikan, 1. Buktikan jika n = 1 benar. Perhatikan bahwa adalah adalah benar. 2. Asumsikan jika n = k bernilai benar. ...(1) 3. Jika n = k bernilai benar maka n = k + 1 bernilai benar. Akan ditunjukkan kebenaran dari pernyataan . Diperoleh, 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + ( k + 1 ) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + ( k + 1 ) 2 = = 6 ( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) kemudian akan dibuktikan ruas sebelah kanan = ruas sebelah kiri. 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + ( k + 1 ) 2 6 k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) + ( k + 1 ) 2 6 k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) + 6 6 ( k + 1 ) 2 6 ( k + 1 ) [ k ( 2 k + 1 ) + 6 ( k + 1 ) ] 6 ( k + 1 ) [ 2 k 2 + k + 6 k + 6 ] 6 ( k + 1 ) ( 2 k 2 + 7 k + 6 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) = = = = = = = 6 ( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 2 + 1 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) Terbukti kebenaran dari , Jadi, terbukti bahwa adalah benar untuk setiap .

Misalkan, P subscript n adalah pernyataan $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ . Diberikan, n subscript 0 equals 1

1. Buktikan jika $n = 1$ benar.

Perhatikan bahwa P subscript 1 adalah $1 squared equals fraction numerator 1 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 plus 1 right parenthesis over denominator 6 end fraction$ adalah benar.

2. Asumsikan jika $n = k$ bernilai benar.

$1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus... plus k squared equals fraction numerator k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 k plus 1 right parenthesis over denominator 6 end fraction$ ...(1)

3. Jika $n = k$ bernilai benar maka $n = k + 1$ bernilai benar.

Akan ditunjukkan kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript .

Diperoleh,

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} + (k + 1)^{2} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} + (k + 1)^{2} = = \frac{( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}$

kemudian akan dibuktikan ruas sebelah kanan = ruas sebelah kiri.

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} + (k + 1)^{2} \frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} + (k + 1)^{2} \frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} + \frac{6 ( k + 1 ) ^{2}}{6} \frac{( k + 1 )}{6} [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)] \frac{( k + 1 ) [ 2 k ^{2} + k + 6 k + 6 ]}{6} \frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{2} + 7 k + 6 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6} = = = = = = = \frac{( k + 1 ) ( k + 1 + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 2 + 1 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}$

Terbukti kebenaran dari P subscript k plus 1 end subscript ,

Jadi, terbukti bahwa P subscript n adalah benar untuk setiap .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.1 (9 rating)

addiba myh

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Jika , maka pernyataan P k + 1 yang benar adalah ....

4.0

Jawaban terverifikasi

Prove that the following are true for all positive integral value of n. Use mathematical induction. 1. a + ( a + b ) + ( a + 2 b ) + . . . + [ a + ( n − 1 ) b ] = 2 n ( 2 a + ( n − 1 ) b

5.0

Jawaban terverifikasi

Prove that the following are true for all positive integral value of n. Use mathematical induction. 2. a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + ... + a ⋅ r n − 1 = 1 − r a ( 1 − r n )

1.5

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah: c. P n ≡ 1.3 1 + 2.4 1 + 3.5 1 + ... + n ( n + 2 ) 1 = 4 ( n + 1 ) ( n + 2 ) n ( 3 n + 5 )

3.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan prinsip induksi matematika: a. 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n − 1 ) + ( 2 n − 3 ) + ... + 3 + 1 = 2 n 2 − 2 n + 1

4.0

Jawaban terverifikasi